Cómo demostrar que [matemáticas] B_1 = \ {1, x, x ^ 2 \} [/ matemáticas] es la base de [matemáticas] V [/ matemáticas]

Answer 1

Para mostrar [math] B_1 [/ math] una base, utilizamos la definición de Wikipedia:

Un conjunto de vectores en un espacio vectorial V se denomina base, o un conjunto de vectores base, si los vectores son linealmente independientes y cada vector en el espacio vectorial es una combinación lineal de este conjunto.

De la forma de [math] B_1 [/ math] queda claro que cada vector en la V es una combinación lineal de vectores en [math] B_1 [/ math]. Queda por demostrar que [matemáticas] 1, x [/ matemáticas] y [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas] son ​​linealmente independientes.

Considere una combinación lineal de cuya [matemática] 1, x [/ matemática] y [matemática] x ^ 2 [/ matemática] que es igual a cero, es decir, [matemática] ax ^ 2 + bx + c = 0. [/ Matemática ] Para la independencia lineal, debería ser posible solo cuando [math] a = b = c = 0. [/ Math]

[math] ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ math] debería mantenerse para cada número real. Poner [matemáticas] x = 0. [/ math] Esto da [math] c = 0. [/ math] Ahora pon [math] x = 1 [/ math] y [math] x = -1. [/ math] Obtenemos [math] a + b = 0 [/ matemática] y [matemática] ab = 0. [/ matemática] Resolviendo obtenemos [matemática] a = b = c = 0. [/ Matemática]

Answer 2

Si [math] B_1 [/ math] es una base de [math] V [/ math]:

• [math] B_1 [/ math] es un conjunto linealmente independiente: [math] d + ex + fx ^ 2 = 0 [/ math] solo cuando [math] d = e = f = 0 [/ math]. VERDADERO (Prasanna muestra esto).
• Cualquier [matemática] v \ en V [/ matemática] se puede expresar como [matemática] v = d + ex + fx ^ 2 [/ matemática] para [matemática] d, e, f \ in \ R [/ matemática] [ matemática]: V [/ matemática] se define como la combinación lineal de los miembros de [matemática] B_1 [/ matemática] con los coeficientes [matemática] a [/ matemática], [matemática] b [/ matemática] y [matemática] c [/ matemáticas]. CIERTO.

Comprobación de cordura: [matemáticas] Dim (V) = | B_1 | = 3 [/ matemáticas]

Cuando estás atascado, ayuda a recordar las definiciones relevantes. En este caso, [matemática] V [/ matemática] se construye de tal manera que [matemática] B_1 [/ matemática] es una base, por lo que realmente no hay mucho que hacer excepto mostrar que [matemática] B_1 [/ matemática] es linealmente independiente.

Answer 3

Una base para el espacio vectorial V tiene 2 condiciones:

1. El conjunto debe ser linealmente independiente
2. El juego debe abarcar V

Para B = {1, x, x ^ 2} ya ha definido su espacio vectorial (hasta el exponente 2), por lo que está claro que B abarcará V porque B tiene un componente para cada valor exponencial hasta 2.

Para LI:

Sea d un vector en el espacio V tal que

D = {d1, d2, d3}

Para BD = 0, D = {0} (vector con todos los cero comp.)

d1 * (1) + d2 (x) + d3 (x ^ 2) = 0

Debido a que solo tiene 1 ecuación, puede ver que la única forma de que esto sea 0 es si todos los componentes son 0.

Answer 4

Es casi inmediato de su declaración, por lo tanto, proceda con cuidado:

Necesitas mostrar Dim (V) = 3

Puedes ver por inspección que | B | = 3

entonces, mientras B es linealmente independiente, se extiende y, por lo tanto, es una base.

Creo que (como Bob y Prasana) han señalado que esto es bastante obvio.

Answer 5

No hay nada que mostrar. Ha definido su V como el conjunto de combinaciones lineales de sus elementos básicos, y esa es la definición misma de una base.