¿Por qué todos los enteros negativos más pequeños que los enteros positivos?

Answer 1

Considere el conjunto [matemática] P \ en Z [/ matemática], satisfaciendo las siguientes condiciones:

• [matemática] P [/ matemática] se cierra con suma y multiplicación.
• Para todas [matemáticas] n \ en Z [/ matemáticas], exactamente una de estas tres afirmaciones es verdadera:
• [matemáticas] n \ en P [/ matemáticas]
• [matemáticas] -n \ en P [/ matemáticas]
• [matemáticas] n = 0 [/ matemáticas]

Entonces este conjunto puede usarse para construir una relación <, usando la definición:

[matemáticas] a <b \ Leftrightarrow b – a \ en P [/ matemáticas]

En nuestro caso, P debe ser el conjunto de todos los enteros positivos. Esto se puede probar usando inducción.

ahora, considere [matemáticas] m, p \ en Z [/ matemáticas], de modo que [matemáticas] p \ en P [/ matemáticas] y [matemáticas] -m \ en P [/ matemáticas], en otras palabras: p es un entero positivo ym es un entero negativo. Luego, debido al cierre de P bajo la suma: [matemática] p – m = p + (-m) \ en P [/ matemática], lo que demuestra que [matemática] m <p [/ matemática]. QED

Answer 2

¿Cómo definimos [math] a \ leq b [/ math] en los enteros?

Una convención utilizada en el estudio de los fundamentos de las matemáticas es decir que

[matemáticas] a \ leq b [/ matemáticas] si y solo si [matemáticas] b – a \ in \ N [/ matemáticas]

Es decir, determinamos el orden de los números en función de si su diferencia es o no un número natural (incluido el cero). En función de esto, podemos decir que [matemática] a

Suponga que [math] a [/ math] es un entero negativo (es decir, [math] a <0 [/ math]), y [math] b [/ math] es un entero positivo (es decir, [math] 0

[matemáticas] 0 – a \ in \ N [/ matemáticas]

[matemáticas] b – 0 \ in \ N [/ matemáticas]

Debido a que los números naturales se cierran además, podemos mostrar rigurosamente:

[matemáticas] (0 – a) + (b – 0) \ in \ N [/ matemáticas]

[matemática] b – a + (0-0) \ in \ N [/ matemática] (usando conmutatividad y asociatividad)

[matemática] b – a + 0 \ in \ N [/ matemática] (usando la definición de resta / inverso aditivo)

[matemáticas] b – a \ in \ N [/ matemáticas] (cero es la identidad aditiva)

Por lo tanto, [math] a \ leq b [/ math], y debido a que no son iguales, [math] a

Answer 3

Los enteros negativos significan 0 – (el valor positivo del entero)
= 1- 1 – (valor positivo del entero)
= 1- (valor pos. Del entero + 1)
Como 1 es el entero positivo más bajo,
¡Es más bajo que todos los enteros positivos!

Answer 4

Porque cualquier cosa a la izquierda en la recta numérica significa “menos valor” que cualquier cosa a la derecha (¡se aplica a todos los números, no solo a los enteros!).