Presento una prueba estándar de este resultado, una que involucra congruencias polinómicas. Varios libros de texto en Teoría de números llevarán esta prueba.
Escribir
[matemáticas] f (x) = (x-1) (x-2) (x-3) \ cdots (x- (p-1)) = x ^ {p-1} – {\ sigma} _1 x ^ {p-2} + {\ sigma} _2 x ^ {p-3} + \ cdots – {\ sigma} _ {p-2} x + {\ sigma} _ {p-1} [/ math],
donde [math] {\ sigma} _r [/ math] denota la suma de productos de enteros tomados [math] r [/ math] en un momento del conjunto [math] \ {1,2,3, \ ldots, p -1 \} [/ matemáticas].
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Dejar
[matemáticas] g (x) = x ^ {p-1} -1 [/ matemáticas].
Entonces [math] f (x) \ equiv 0 \ pmod {p} [/ math] y [math] g (x) \ equiv 0 \ pmod {p} [/ math] tienen soluciones idénticas [math] x \ equiv 1 , 2,3, \ ldots, p-1 \ pmod {p} [/ math], la última congruencia por el “pequeño” teorema de Fermat.
Ahora necesitaré un hecho que tenga un análogo en el campo de los números reales o complejos. Si [math] P (x) [/ math] es un polinomio de grado [math] n [/ math] y [math] p [/ math] es primo, entonces la congruencia
[matemáticas] P (x) \ equiv 0 \ pmod {p} [/ matemáticas]
tiene como máximo [math] n [/ math] (no congruente) módulo de soluciones [math] p [/ math] . Esto se puede probar induciendo el grado de polinomios, pero voy a dar eso por sentado. Tenga en cuenta que este resultado requiere que el módulo sea primo. Por ejemplo, la congruencia
[matemáticas] 2x \ equiv 0 \ pmod {4} [/ matemáticas]
tiene dos soluciones [matemáticas] x \ equiv 0,2 \ pmod {4} [/ matemáticas] (el grado del polinomio [matemáticas] 2x [/ matemáticas] es [matemáticas] 1 [/ matemáticas]), y la congruencia
[matemáticas] x ^ 2–1 \ equiv 0 \ pmod {8} [/ matemáticas]
tiene cuatro soluciones [matemáticas] x \ equiv 1,3,5,7 \ pmod {8} [/ matemáticas] (el grado del polinomio [matemáticas] x ^ 2–1 [/ matemáticas] es [matemáticas] 2 [/ matemáticas]).
Para continuar donde dejé, el polinomio
[matemáticas] h (x) = f (x) -g (x) [/ matemáticas]
tiene un grado menor que [matemática] p-1 [/ matemática] pero tiene [matemática] p-1 [/ matemática] ceros módulo [matemática] p [/ matemática]. Esto debe implicar que [math] h (x) [/ math] debe ser el módulo polinomial cero [math] p [/ math]. En otras palabras, todos los coeficientes de [math] h (x) [/ math] deben ser múltiplos de [math] p [/ math]. Por lo tanto
[matemática] p \ mid {\ sigma} _r [/ matemática] para [matemática] r \ in \ {1,2,3, \ ldots, p-2 \} [/ matemática] y [matemática] {\ sigma } _ {p-1} = (p-1)! \ equiv -1 \ pmod {p} [/ math]. … (1)
La segunda congruencia se llama teorema de Wilson .
Ahora
[matemáticas] f (p) = (p-1)! = p [/ matemáticas] [matemáticas] ^ {p-1} – {\ sigma} _1 p ^ {p-2} + {\ sigma} _2 p ^ {p-3} + \ cdots – {\ sigma} _ {p-2} p + {\ sigma} _ {p-1}. [/matemáticas]
Dado que [math] {\ sigma} _ {p-1} = (p-1)! [/ Math], dividir por [math] p [/ math] y transponer da
[matemáticas] {\ sigma} _ {p-2} = {\ sigma} _1 p ^ {p-2} – {\ sigma} _2 p ^ {p-3} + \ cdots + {\ sigma} _ {p -3} p. [/ Matemáticas]
Ahora eqn. (1) da
[matemáticas] p ^ 2 \ mid {\ sigma} _ {p-2} [/ matemáticas].
Esto se llama teorema de Wolstenholme .
Casi terminamos. La suma de fracciones en el LHS es igual a [math] \ frac {{\ sigma} _ {p-2}} {(p-1)!} [/ Math]. Por lo tanto
[matemáticas] b {\ sigma} _ {p-2} = a (p-1)! [/ matemáticas].
Ahora [math] p ^ 2 \ mid {\ sigma} _ {p-2} [/ math] implica [math] p ^ 2 \ mid a [/ math], ya que [math] \ gcd (p, (p- 1)!) = 1 [/ matemáticas]. QED