¿Cuántos pares de enteros (a, b) hay tales que [matemáticas] a ^ b = b ^ a [/ matemáticas] y [matemáticas] 0 <a <b [/ matemáticas]?

Answer 1

Hay otra buena solución para números reales. Deje [math] x = b / a [/ math]. Entonces [matemáticas] a ^ {ax} = (ax) ^ a \ iff a ^ x = ax \ iff a ^ {x-1} = x \ iff a = x ^ {1 / (x-1)} [/ matemáticas]. Finalmente, [matemáticas] b = x ^ {x / (x-1)} [/ matemáticas].

Ahora resolvemos el problema para enteros positivos. Tenga en cuenta que [math] x [/ math] es racional, por lo que sea [math] x = p / q [/ math], [math] \ gcd (p, q) = 1 [/ math]. Entonces [math] a = \ left (\ frac pq \ right) ^ {q / (pq)} \ iff a ^ {pq} q ^ q = p ^ q [/ math]. Entonces [matemáticas] q \ mid p ^ q [/ matemáticas]. Sin embargo, [math] p [/ math] y [math] q [/ math] son ​​números coprimos y no tienen factores comunes. Esto solo puede ser posible cuando [math] q = 1 [/ math], entonces [math] x [/ math] es un número entero mayor que [math] 1 [/ math].

Para terminar, podemos observar que [matemáticas] x = k ^ {x-1} = (1+ (k-1)) ^ {x-1} \ ge 1+ (k-1) (x-1 ) \ ge 1+ (2-1) x = x [/ math]. Entonces la igualdad debe ocurrir, es decir, [matemáticas] x = 2 [/ matemáticas]. Así, [matemáticas] a = 2 ^ {1 / (2-1)} = 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] b = 2 ^ {2 / (2-1)} = 4 [/ matemáticas].

Answer 2

Suponga que ha encontrado tales [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas]. Tome registros naturales para obtener [math] \ ln (a) * b = \ ln (b) * a [/ math] o [math] \ frac {\ ln (a)} {a} = \ frac {\ ln ( b)} {b} [/ matemáticas]. Ahora, inspeccione la función [math] f (x) = \ frac {\ ln (x)} {x} [/ math]. Si toma la derivada, verá que [math] f ‘(x) = \ dfrac {1- \ ln (x)} {x ^ 2} [/ math] que le dice que la función tiene un máximo en [math ] e [/ math], aumenta de [math] 0 [/ math] a [math] e [/ math] y disminuye para todos los demás valores.

En particular, si tenemos [matemática] f (a) = f (b) [/ matemática] necesitamos que [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] se encuentren en diferentes lados de [matemática] ] e [/ math] o have [math] a = b. [/ math] Dado que los dos números no son iguales, uno de ellos debe ser menor que [math] e [/ math], por lo que uno de ellos debe ser [ matemáticas] 1 [/ matemáticas] o [matemáticas] 2 [/ matemáticas]. Por qué [math] a = 1 [/ math] no es una solución para cualquier [math] b> a [/ math] es trivial. Si [math] a = 2 [/ math], entonces sabemos que hay exactamente un número más, mayor que [math] e [/ math] para el cual [math] f (x) = f (2) [/ math] . Por inspección, ese número es [matemático] 4 [/ matemático], por lo que el único par es [matemático] (2,4). [/ Matemático]

Editar: la solución anterior es de cálculo, que no es demasiado accesible para los estudiantes de secundaria. Hay una solución de teoría de números básica más complicada, que es la siguiente:

1. Primero probaremos que [matemáticas] a | b [/ matemáticas] ([matemáticas] a [/ matemáticas] divide [matemáticas] b [/ matemáticas]). Debe quedar claro que [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas] tienen los mismos divisores primos. Suponga que hay una [matemática] p [/ matemática] tal que [matemática] p ^ k || a [/ matemática] ([matemática] p ^ k [/ matemática] divide [matemática] [[matemática], pero [matemática] p ^ {k + 1} [/ matemática] no), [matemática] p ^ l || b [/ matemática] y [matemática] k> l [/ matemática]. Luego, obtenemos [matemáticas] p ^ {kb} || a ^ b, p ^ {la} || b ^ a, [/ matemáticas] y de la igualdad deseada descubrimos que [matemáticas] kb = la [/ matemáticas]. Como [math] a l [/ math]; por el contrario, tenemos [matemáticas] k
2. Para esta elección de nuevos símbolos, tenemos [math] a ^ b = c ^ aa ^ {ta} [/ math] o [math] c ^ a = a ^ {b-ta} [/ math]. Ahora es clave reconocer que [matemáticas] a | (b-ta) [/ matemáticas] y así obtenemos [matemáticas] c = a ^ {\ frac {b} {a} – t} [/ matemáticas]. Dado que [matemática] a [/ matemática] no divide [matemática] c [/ matemática], y obviamente [matemática] \ frac {b} {a} = ca ^ {t-1} \ geq t [/ matemática] ( el último hecho puede probarse por inducción, utilizando el hecho de que [matemáticas] a [/ matemáticas] no puede ser [matemáticas] 1 [/ matemáticas]), necesitamos tener [matemáticas] \ frac {b} {a} = t [ / math] es decir [math] b = ta = ca ^ t [/ math] y [math] c = a ^ 0 = 1. [/ math] Combinando todo esto, obtenemos [math] t = a ^ { t-1} [/ matemática] y [matemática] b = a ^ t [/ matemática]. Como [math] a [/ math] y [math] b [/ math] son ​​diferentes, [math] t \ geq 2 [/ math]. A partir de aquí, por inducción, se puede demostrar que si [math] a \ geq 3, a ^ {t-1}> t [/ math] para todos [math] t [/ math]. Por lo tanto, solo [math] a = 2 [/ math] puede ser una solución. Podemos verificar que [math] t = 2 [/ math] es una solución; para [math] t \ geq 3 [/ math] obtenemos, nuevamente por inducción, que [math] 2 ^ {t-1}> t [/ math], que concluye la solución dándonos la única solución [math] ( a, b) = (2, 2 ^ 2) = (2,4) [/ matemáticas].

Answer 3

Si [math] \ displaystyle a ^ b = b ^ a [/ math], entonces [math] \ displaystyle a ^ {\ frac {1} {a}} = b ^ {\ frac {1} {b}} [ / math], entonces estamos buscando dos enteros diferentes para los cuales la función [math] \ displaystyle x ^ {\ frac {1} {x}} [/ math] da el mismo valor.

Tenga en cuenta que esta función [math] \ displaystyle x ^ {\ frac {1} {x}} [/ math] tiene solo un máximo, en [math] \ displaystyle x_ {top} = e [/ math] porque su derivada:

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {d} {dx} x ^ {\ frac {1} {x}} = -x ^ {\ frac {1} {x} -2} (\ log (x) -1) [/matemáticas]

es solo cero cuando [math] \ displaystyle (\ log (x) -1) = 0 [/ math].

Por lo tanto, [math] \ displaystyle a [/ math] y [math] \ displaystyle b [/ math] deben estar en lados opuestos de este pico:

[matemáticas] \ displaystyle a

Solo hay dos enteros positivos debajo de [math] e [/ math], entonces: [math] \ displaystyle a = 1 [/ math] o [math] \ displaystyle a = 2 [/ math]. Sin embargo, [math] \ displaystyle a \ neq 1 [/ math], porque [math] \ displaystyle 1 ^ b = 1 \ neq b = b ^ 1 [/ math]

Y dado que para [math] \ displaystyle a = 2 [/ math] tenemos:

[matemáticas] \ displaystyle a ^ {\ left (\ frac {1} {a} \ right)} = 2 ^ {\ left (\ frac {1} {2} \ right)} = \ sqrt {2} = \ sqrt {\ sqrt {4}} = 4 ^ {\ left (\ frac {1} {4} \ right)} [/ math]

solo tenemos una solución, [math] \ bf \ displaystyle a = 2, b = 4 [/ math]

Answer 4

Observamos que de la ecuación a | b entonces b = ka. Lo conectamos y obtenemos a ^ (ka) = (ka) ^ a para que podamos enraizar en ambos lados y obtener a ^ k = ka y k = a ^ (k-1) y a = (k-1) raíz de k = (k-1) raíz de k * 1 * 1 * 1 * 1 *… * 1 (k-2 veces) <= (k + 1 + 1 +… + 1) / (k-1) = (2k-2) / (k-1) = 2. Entonces a <= 2. Si a = 1, entonces a = b = 1, lo cual es una contradicción. Si a = 2 entonces 2 ^ (k-1) = k. Observamos la función f (x) = 2 ^ (x-1) yf (x) = x. El primero tiene valores 1, 2, 4, 8, 16, ... y está aumentando parabólicamente y el otro va 1, 2, 3, 4, ... entonces estas dos funciones se encuentran en k = 1 yk = 2. Pero a

Conclusión: (a, b) = (2, 4) es la única solución en enteros positivos.

Answer 5

He escrito una respuesta sobre algo relacionado con esto que podríamos usar aquí: la respuesta de Anirban Ghoshal a ¿Es cierto que para todos los enteros [matemáticas] a, b> 3 [/ matemáticas], el poder [matemáticas] a ^ b> b ^ a \ iff b> a [/ math]? ¿Hay alguna prueba de esto?

Como corolario del resultado anterior, si [matemática] a, b \ geq 3 [/ matemática], entonces está claro que [matemática] a ^ b [/ matemática] no puede ser igual a [matemática] b ^ a [/ matemáticas]. Eso nos deja con muy pocos casos para probar y sabemos que el resultado de Tim Farage es correcto.

Answer 6

Lamentablemente, los únicos valores enteros positivos que satisfacen sus criterios son a = 2 yb = 4, porque [matemática] 2 ^ 4 = 4 ^ 2 [/ matemática].

Puede pensar que a = b = 1 también funciona, pero el OP especificó que b> a> 0.