¿Cuál es el número de todos los posibles [matemática] k [/ matemática] -tuplas de enteros no negativos [matemática] (n_1, n_2,…, n_k) [/ matemática] tal que [matemática] \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ {k} n_i = 100 [/ matemáticas]?

Answer 1

Primero daré un ejemplo con [matemáticas] k = 4 [/ matemáticas] y suma [matemáticas] = S = 10 [/ matemáticas]

Uno de los casos será [matemáticas] (1,2,3,4) [/ matemáticas]

codificar la información, así

[matemática] 1011011101111 [/ matemática] esto representa las tupulas ordenadas separadas por [matemática] 0 [/ matemática] sy el número de [matemática] 1 [/ matemática] s representa el número

El número de separadores ([matemática] 0 [/ matemática] s) es [matemática] k-1 [/ matemática]

La longitud de la cadena es [matemática] S + k-1 [/ matemática]

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De esta manera hemos simplificado mucho la pregunta

ahora la pregunta se convierte en “la cantidad de formas de elegir 3 separadores de una cadena de 13”

y la respuesta es siply [math] {{13} \ choose3} = \ dfrac {13!} {3! 10!} [/ math]

[matemáticas] = 286 [/ matemáticas]

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Entonces, la solución a su problema que podemos replantear como “la cantidad de formas de elegir separadores [math] (k-1) [/ math] de una cadena de [math] (S + k-1) [/ math] ”

Respuesta–> [matemáticas] {{S + k-1} \ elegir {k-1}} = \ dfrac {(S + k-1)!} {S! (K-1)!} [/ Matemáticas]

Reemplace la suma S con [matemáticas] 100 [/ matemáticas]

tu respuesta es por lo tanto,

[matemáticas] \ boxed {{{99 + k} \ choose {k-1}} = \ dfrac {(99 + k)!} {100! (k-1)!}} [/ math]

¡Espero eso ayude!