Una sección transversal de un objeto tridimensional es el área de un plano que atraviesa el objeto tridimensional y esa área está dentro del objeto tridimensional.
Estamos discutiendo un caso especial de un objeto tridimensional, un cubo, que tiene propiedades muy versátiles en el sentido de que tiene seis lados, todos los cuales tienen áreas iguales y esas áreas iguales son cuadrados.
La respuesta de Stephen Bell trata casos especiales del problema en el que los planos de sección transversal cortan los bordes del cubo o las esquinas del cubo o una combinación de bordes y esquinas. Hay un pequeño número de casos posibles en los que el plano puede cortar alguna combinación de bordes y esquinas, y la mayoría de estos casos son simétricos idénticos a otros casos en los que el plano de corte transversal corta solo a través de esquinas y bordes.
Sean Roberson aborda un conjunto especial de casos en los que el plano de corte transversal atraviesa el cubo y es paralelo a dos de los lados (caras) del cubo. Hay un número infinito de casos en este conjunto porque el plano que corta en paralelo a una cara puede deslizarse en forma de éter dentro del cubo a un número infinito de cortes paralelos a través del cubo aún paralelo a un par de caras. Si bien hay un número infinito de estos casos, cada uno de ellos es un plano con el mismo tamaño que la cara del cubo.
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Luego hay otro conjunto infinito de casos que ni Stephen Bell ni Sean Roberson abordaron. Estos son el número infinito de planos de sección transversal que no cortan solo esquinas y bordes y no son paralelos a una de las caras del cubo.
Calcular el área de la sección transversal de este último conjunto es un problema de trigonometría, ya que requiere que observe las infinitas formas diferentes en que puede dibujar una línea recta a través de cualquiera de las caras.
Imagine que tenemos un cubo de un metro como la imagen que proporcionó Stephen Bell. Podríamos dibujar arbitrariamente una línea que cruza el borde superior de la imagen a 1/3 de metro desde la esquina frontal izquierda y también intersecta el borde frontal izquierdo de la imagen a un tercio de metro por el borde frontal izquierdo. Ahora imagine un plano que puede girar alrededor de esa línea, intersectando así los otros lados del cubo en un número infinito de líneas. Debe usar trigonométrico para determinar la intersección de ese plano con los otros lados y luego esas líneas de intersección definen los lados del área de la sección transversal que está tratando de calcular.
Hay un número infinito de planos que podrían intersecar el cubo y también cortar a través del centro.
No creo que el autor de la pregunta original realmente quisiera preguntar sobre ningún plano arbitrario que atraviese el cubo. Creo que el autor original puede haber estado pensando que solo había una forma específica de seccionar el cubo y no mencionó la específica. Muchos de los casos especiales tienen soluciones fáciles debido a las simetrías en el problema. Los otros conjuntos infinitos de casos se pueden generalizar fácilmente en algunas fórmulas, pero requeriría mucha más discusión para cubrirlos a todos.