Sí a la pregunta formulada en el título. El espacio-tiempo galileano (espacio-tiempo con el principio de relatividad) es en realidad un haz de fibras sobre R ^ 1 con fibras R ^ 3 (porque no hay identificación puntual en un haz de fibras). La relatividad especial generalmente se formula en algo llamado espacio de Minkowski. La relatividad general utiliza algo llamado geometría pseudo-Riemanniana. Un múltiple es un espacio topológico que es localmente homeomorfo al espacio euclidiano n-dimensional. Piense en esto como “pegar” parches del espacio euclidiano n-dimensional juntos. Una variedad con un tipo particular de “métrica” (es decir, un bonito mapa bilineal que asigna a cada par de vectores tangentes en un punto elegido un número real) se denomina variedad pseudo-Riemanniana. Ahora, una variedad pseudo-Riemanniana M cuya métrica tiene firma (1, n-1) donde n es la dimensión de M se llama una variedad lorentziana (por ejemplo, si M es de dimensión 4, como lo es el espacio-tiempo en la relatividad general, entonces una métrica de firma (1,3) significaría que ds ^ 2 (longitud del arco) = dt ^ 2 – dz ^ 2 – dy ^ 2 – dz ^ 2). La razón por la que usa las variedades lorentzianas en la relatividad general es porque los vectores tangentes se pueden clasificar como temporales, nulos o espaciales, lo cual es muy importante para definir conos de luz. Estas son claves en la relatividad general para ayudar a definir la causalidad. El espacio Minkowski es un tipo especial de variedad lorentziana.
Comentaré que es útil pensar en la curvatura como algo que describe cuánto se perturba un vector después de transportarlo a lo largo de un camino cerrado en el colector, manteniéndolo paralelo a sí mismo. (Intente visualizar el transporte de un vector a lo largo de un camino cerrado, manteniéndolo siempre paralelo a sí mismo, en el espacio euclidiano tridimensional ordinario y luego en una esfera; esto aclarará la noción de curvatura a través del transporte paralelo).