Gracias por solicitar mi respuesta a esto, es un problema interesante. En realidad, es posible proporcionar una solución puramente geométrica a esto. Pero cuidado, el método es engorroso.
Empleamos la idea de proyecciones para nuestra solución. Observamos que si todos los lados de un triángulo están escalados hacia arriba o hacia abajo por un factor de k, el área del triángulo está escalada hacia arriba (o hacia abajo) por un factor de [matemáticas] k ^ 2 [/ matemáticas].
Comencemos con un triángulo equilátero cuyos lados midan lo mismo que cada lado del cuadrado. Si [math] a [/ math] es la longitud de cada lado del cuadrado, entonces el área del triángulo es [math] \ displaystyle \ frac {\ sqrt {3}} {4} a ^ 2 [/ math] .
Necesitamos escalar los lados de este triángulo por un factor de [math] \ displaystyle \ frac {2} {\ sqrt {\ sqrt {3}}} [/ math].
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El problema se reduce a uno en el que estamos obligados a determinar un segmento de línea que mide [matemáticas] \ displaystyle \ frac {2} {\ sqrt {\ sqrt {3}}} [/ matemáticas] (o al menos, dos segmentos de línea en la proporción [matemáticas] \ displaystyle \ 1: \ frac {2} {\ sqrt {\ sqrt {3}}} [/ matemáticas]).
Primero encontramos un segmento de línea de longitud [matemática] \ displaystyle \ frac {4} {\ sqrt {3}} = \ frac {4 \ sqrt {3}} {3} [/ matemática]. Esto no es particularmente difícil ya que una línea de longitud [matemática] \ sqrt {3} [/ matemática] se puede medir fácilmente como la perpendicular en un triángulo rectángulo cuya base es [matemática] 1 [/ matemática] y la hipotenusa es [matemática ] 2 [/ matemáticas].
Una vez que hemos encontrado la línea que mide [matemática] \ displaystyle \ frac {4} {\ sqrt {3}} [/ matemática], podemos encontrar la línea cuya longitud es igual a la raíz cuadrada de la primera. De hecho, aquí está el método genérico para ello:
En el diagrama anterior, [math] AB = 1 [/ math] es un diámetro. Si [math] BP = a [/ math], entonces la tangente [math] PT = \ sqrt {a} [/ math]. Puede hacer esta construcción para determinar la línea que mide [matemáticas] \ displaystyle \ frac {2} {\ sqrt {\ sqrt {3}}} [/ matemáticas], después de lo cual puede escalar los lados de nuestro triángulo equilátero inicial por este factor
Ps Si se me ocurre una solución menos engorrosa, actualizaré mi respuesta.