¿Cuál es la ecuación de la curva AB en qué círculo está rodando como se muestra en la figura? Educación te da un futuro mejor

Creo que no solo hay una respuesta a este problema, sino que depende del grado de precisión que desee y de la cantidad de información que tenga sobre la geometría del problema. Sin embargo, una solución numérica para este caso está fuera de discusión (demasiado vaga).

Entonces, creo que la pregunta subyacente es ¿cómo se puede encontrar la ecuación de la línea?

No veo ningún círculo “rodando”, pero si lo hubiera hecho, por cada instante, podría haber calculado las coordenadas del centro para cada instante t. Entonces el conjunto de los puntos tangentes se habría delimitado entre el segmento A y B y la ecuación paramétrica de la curva de los centros. Para un círculo con radio igual a cero, la línea es trivialmente igual a la ecuación paramétrica de los centros, cualquiera que sea.
Con un radio mayor que cero, es más complicado.
Supongamos, a partir de la imagen, que puede llegar a una función fácil y = f (x) para explicitar la función paramétrica, en al menos un sistema cartesiano de coordenadas (en la imagen, suponga establecer la función canónica), f ( x) será la línea de los centros.
Dado que la línea en la imagen parece ser suave y derivable en cada punto del dominio, diría que a juzgar por la geometría, la derivada de f (x) tiene alguna correlación con la de la función desconocida g (x) [matemáticas] \ dfrac {df (x)} {dx} (x_a-r) = (\ dfrac {dg (x)} {dx}) (x_a) [/ math], eso también sucede para el punto B y para todos los puntos en entre (pero se necesita una dilatación adecuada para encontrar una buena relación para los puntos intermedios y la línea de centros).
Conociendo la derivada para cada punto podemos integrarlo e imponiendo la condición inicial (ya que la línea tiene que pasar por A) y luego podemos encontrar la ecuación.
Para la construcción, esta línea puede hacer tal circunferencia, puede ser cóncava localmente o tener formas más complejas.
Geométricamente podemos visualizar todos los puntos de los círculos en el plano, la línea sería el lugar geométrico de los puntos que están “más cerca” del segmento.

Pero como todo esto es un enfoque teórico (no tan fácil de encontrar), tenemos que aceptar, como siempre, la mejor aproximación lineal.
Si no sabe cómo se mueve el círculo, pero solo conoce la posición en un instante, diría que tiene 5 datos sobre la función de interpolación:

Las coordenadas del punto A
Las coordenadas del punto B
Las coordenadas de un punto en el que la línea es tangente a la circunferencia.
La posición del centro y el radio de la circunferencia de modo que la ecuación de la circunferencia. Derivando así la función del emicírculo en el punto tangente también tenemos la pendiente de la línea en el punto tangente.
El dominio de la línea de A a B.

Al encontrar todos estos puntos fáciles podemos obtener la mejor ecuación polinómica de rango 3 en el dominio del problema.

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He encontrado la solución para la curva polinómica, para más detalles lea los comentarios a esta respuesta.
Hice una trama interactiva en Geogebra, un trazador gratuito que te recomiendo que descargues en cualquier caso.
Instrucción: puede establecer las coordenadas de los puntos de la circunferencia y la intersección arrastrándolos, otros parámetros se pueden modificar con los controles deslizantes, la mejor curva se generará en consecuencia.

Le aconsejo que lo descargue en su PC / tableta y luego lo abra o mediante la aplicación / programa oficial o, en caso de que no quiera instalar nada con la aplicación web.
Usted es libre de descargar, modificar y compartir el archivo.

Enlace al archivo
Tangente line.ggb

Espero que les guste esta solución, ya que fue un poco de trabajo para hacer, saludos.