La fracción ([matemática] F [/ matemática]) del círculo, encerrada por el rectángulo se puede expresar como una función del ángulo [matemática] a [/ matemática]:
[matemáticas] F = \ frac {2r \ times h} {\ pi \ times r ^ 2} = \ frac {2r \ times r \ sin (a)} {\ pi \ times r ^ 2} = \ frac {2 \ sin (a)} {\ pi} [/ math]
Inversamente, [matemática] a [/ matemática] puede expresarse en [matemática] F [/ matemática]
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[matemáticas] a = \ arcsin {(\ frac {F \ times \ pi} {2})} [/ matemáticas]
La relación longitud / ancho ([matemática] R [/ matemática]) son los cotangens de la mitad de este ángulo, y por lo tanto:
[matemáticas] R = \ cot {(\ frac {1} {2} a)} = \ cot {(\ frac {1} {2} \ arcsin {(\ frac {F \ times \ pi} {2}) })}[/matemáticas]
- Para [matemáticas] F = \ frac {1} {2} [/ matemáticas], esta relación es igual a:
[matemáticas] R _ {\ frac {1} {2}} = \ frac {4+ \ sqrt {(16 – {\ pi} ^ 2)}} {\ pi} \ aprox 2.0614… [/ matemáticas] - Para [matemáticas] F = \ frac {1} {e} [/ matemáticas], esta relación es igual a:
[matemáticas] R _ {\ frac {1} {e}} \ aprox 3.14284… [/ matemáticas] - Para [matemáticas] F = \ frac {1} {\ pi} [/ matemáticas], esta relación es igual a:
[matemáticas] R _ {\ frac {1} {\ pi}} = 2+ \ sqrt {3} \ aprox 3.732… [/ matemáticas]