¿Cómo se derivaron el seno, el coseno y la tangente?

Answer 1

Método preciso reescrito

Podemos usar un nuevo método denominado “Método preciso-reescrito” para determinar los valores exactos de las funciones trigonométricas. Este método requiere poca preparación conceptual nueva de radicales centrales y anidados. Tomemos un ejemplo de Sin 20 grados que describe el método Precise-Rewritten.

Concepto de centrales. Para el método Precise-Rewritten, solo necesitamos una comprensión simple de ‘Centrales’. A partir de 90 grados, su mitad es 45, primera central. La mitad de 45 es 22.5 – segunda central, 11.25 es la tercera central y así sucesivamente. En el ejemplo de Sin 20, la siguiente imagen puede describir el método Precise-Rewritten en un solo disparo. Cuida el patrón de repetición. En el resultado final, los corchetes de cierre se han derrumbado solo para facilitar.

Reducir a la mitad el acorde. El método de reescritura precisa determina la longitud del acorde para el doble ángulo. En el caso anterior, el resultado es un acorde de 40 grados. Reducir a la mitad el acorde y el ángulo, será un seno de medio ángulo. Por lo tanto, en nuestro caso, el resultado es Sin 20 grados es:

En el caso anterior de Sin 20, hay una repetición de la misma salida expresada en bar.

El método preciso reescrito puede dar el valor exacto de todos los ángulos enteros, ángulos de todos los polígonos, etc.

Si su requerimiento no es para valores exactos en trigonometría (en radicales) en lugar de una representación decimal para todos los ángulos, el método Arc-Line es la mejor opción. Para este método de Arc-Line, la respuesta de Bhava Nath Dahal a ¿Cómo calculo cos, seno, etc. sin una calculadora? en quora

Answer 2

Los antiguos babilonios y egipcios sabían algo sobre trigonometría. Al igual que los antiguos griegos.

Los griegos, Euclides y Arquímedes, tenían la ley de los cosenos y la ley de los senos en su trabajo.

A menudo se piensa, al parecer, en términos de acordes de triángulos.

Aquí hay un ejemplo,

Vi que Hiparco de Nicea hizo bastante con la trigonometría temprana.

Puede medir longitudes de triángulos dentro de un círculo usando un instrumento para medir la distancia. Podrían hacer tablas de valores.

Más adelante, con ángulos, aún puede calcular el seno, el coseno y la tangente de ángulos usando las proporciones de triángulos.

SOHCAHTOA

Para un triángulo rectángulo,

sinθ = O / H

cosθ = A / H

tanθ = O / A

opuesto, adyacente, hipotenusa

¿Preguntas de física y matemáticas?

Answer 3

Añadiendo algunas breves observaciones a las respuestas ya dadas, las culturas antiguas sabían acerca de algunas propiedades de los lados de un triángulo, y el conocimiento trigonométrico temprano se usó con fines prácticos y en cálculos astronómicos. Luego, alrededor del comienzo de la Era Común, los astrónomos comenzaron a desarrollar el concepto de Acorde (geometría) (que está relacionado con la función Seno). Antiguos eruditos y astrónomos como Hiparco y Ptolomeo proporcionaron tablas de acordes.

El concepto de seno se elaboró ​​progresivamente, y aquí hay una explicación de la etimología de las palabras seno , tangente y coseno :

La palabra seno deriva del latín seno (“curva”, “bahía”, “el pliegue colgante de la parte superior de una toga”, “el seno de una prenda”). El uso del seno se origina en las traducciones europeas del siglo XII de la palabra árabe jaib (“bolsillo” o “pliegue”).

Esto a su vez se basó en una lectura errónea de la forma escrita en árabe jyb , que en sí se originó como una transcripción del sánscrito, ya sea de jyā (el término sánscrito estándar para el seno) o del sinónimo jīvā (ambos significan literalmente “cuerda del arco”).

La palabra tangente proviene del latín tangens que significa “tocar”, ya que la línea toca el círculo de la unidad de radio, mientras que secante proviene del latín secans – “corte” – ya que la línea corta el círculo.

El prefijo “co-” (en “coseno”, “cotangente”, “cosecante”) se encuentra en el triangulorum Canon de Edmund Gunter (1620), que define el coseno como una abreviatura del seno complementario (seno del ángulo complementario) y procede a definir los cotangens de manera similar.

Fuente: funciones trigonométricas

Las funciones seno, coseno y tangente se pueden calcular utilizando herramientas como tablas de valores de estas funciones, el círculo de unidades y el teorema de Pitágoras, y utilizando ecuaciones funcionales que definen relaciones entre funciones trigonométricas, como las siguientes ecuaciones de diferencia:

[matemáticas] \ sin (x – y) = \ sin (x) \ cos (y) – \ cos (x) \ sin (y) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ cos (x – y) = \ sin (x) \ sin (y) + \ cos (x) \ cos (y) [/ matemáticas]

La serie Taylor o Maclaurin para funciones trigonométricas también puede ser útil.

Consulte también los siguientes enlaces y recursos relevantes:

Historia de trigonometría.

La tabla de acordes de Ptolomeo

Serie de Taylor

Serie Maclaurin

Funciones trigonométricas

Historia del esquema de trigonometría

El nacimiento de la trigonometría.

Answer 4

En cuanto al descubrimiento de las identidades trigonométricas, no puedo decir mucho, pero en cuanto a cómo se pueden calcular sin una calculadora es una cuestión totalmente distinta.

El seno y el coseno se pueden definir mediante una serie de Taylor que podemos derivar de la regla de L’Hospital.

[matemática] sin (x) = \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ ∞ \ frac {(- 1) ^ n (x) ^ {2n + 1}} {n!} [/ math]

[matemáticas] cos (x) = \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ ∞ \ frac {(- 1) ^ n (x) ^ {2n}} {n!} [/ matemáticas]

Básicamente, esto significa que el seno coseno y la tangente (sin / sos) se pueden definir utilizando solo las cuatro funciones aritméticas básicas. Usando estas definiciones, y la serie de Taylor para [matemáticas] e ^ x [/ matemáticas] también derivadas usando la regla de L’Hospital, obtenemos la fórmula de Euler.

[matemáticas] e ^ {ix} = cos (x) + isin (x) [/ matemáticas]

y en un caso especial:

[matemáticas] e ^ {iπ} = – 1 [/ matemáticas]

Ahora podemos demostrar fácilmente a través de la manipulación algebraica básica que

[matemáticas] sin (x) = \ displaystyle \ frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i} [/ matemáticas]

[matemáticas] cos (x) = \ displaystyle \ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2i} [/ matemáticas]

Y cuando eliminamos las unidades imaginarias obtenemos

[matemáticas] sinh (x) = \ displaystyle \ frac {e ^ {x} -e ^ {- x}} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] cosh (x) = \ displaystyle \ frac {e ^ {x} + e ^ {- x}} {2} [/ matemáticas]

¡Las identidades hiperbólicas! Las identidades hiperbólicas se usan en muchas áreas avanzadas de las matemáticas. Pido disculpas por ir un poco por la borda, pero no pude evitarlo. Espero que encuentres esta respuesta interesante.

Answer 5

(d / dx) sin (x) = lim (d-> 0) (sin (x + d) – sin (x)) / d
= lim (sin (x) cos (d) + cos (x) sin (d) – sin (x)) / d
= lim (sin (x) cos (d) – sin (x)) / d + lim cos (x) sin (d) / d
= sin (x) lim (cos (d) – 1) / d + cos (x) lim sin (d) / d
= sin (x) lim ((cos (d) -1) (cos (d) +1)) / (d (cos (d) +1)) + cos (x) lim sin (d) / d
= sin (x) lim (cos ^ 2 (d) -1) / (d (cos (d) +1) + cos (x) lim sin (d) / d
= sin (x) lim -sin ^ 2 (d) / (d (cos (d) + 1) + cos (x) lim sin (d) / d
= sin (x) lim (-sin (d)) * lim sin (d) / d * lim 1 / (cos (d) +1) + cos (x) lim sin (d) / d
= sen (x) * 0 * 1 * 1/2 + cos (x) * 1 = cos (x)

cos (x) = sin (x + PI / 2)
(d / dx) cos (x) = (d / dx) sin (x + PI / 2)
= (d / du) sin (u) * (d / dx) (x + PI / 2) (Conjunto u = x + PI / 2)
= cos (u) * 1 = cos (x + PI / 2) = -sin (x)

(d / dx) tan (x) = (d / dx) sin (x) / cos (x)
= (cos (x) (d / dx) sin (x) – sin (x) (d / dx) cos (x)) / cos ^ 2 (x)
= (cos (x) cos (x) + sin (x) sin (x)) / cos ^ 2 (x)
= 1 + tan ^ 2 (x) = sec ^ 2 (x)

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Answer 6

Se basan en la relación entre los ángulos de un triángulo rectángulo y las relaciones de la longitud de los lados del triángulo. Entonces, en teoría, si pudieras dibujar un triángulo que tenga el ángulo exacto del que estás tratando de tomar la función trigonométrica, y puedas medir la longitud de los lados apropiados con un grado arbitrario de precisión, entonces puedes usar la razón de esos lados para encontrar el valor de esa función trigonométrica con un grado arbitrario de precisión. Sin embargo, te ofrecería esta posibilidad. Digamos que estamos preocupados con la relación del lado opuesto al ángulo y la hipotenusa, cuando el ángulo en cuestión es [matemática] \ frac {\ pi} {3} [/ matemática]. Yo diría que el valor exacto de lo que está buscando es simplemente [math] sin (\ frac {\ pi} {3}) [/ math]. Después de todo, esa expresión solo representa un número, no diferente de [math] \ pi [/ math] representa un número. Puede que no sea la notación convencional, pero diría que es igual de válida.