¿Cuál es el valor de [matemáticas] x [/ matemáticas] en el escenario dado?

Answer 1

Etiquete la intersección de altitud de [math] B [/ math] con [math] \ overline {AC} [/ math] como [math] F [/ math]. Luego, aplicando el teorema de Pitágoras en [matemática] \ triangular AFB [/ matemática] y [matemática] \ triangular BFC [/ matemática], obtenemos [matemática] \ overline {AF} ^ 2 + \ overline {BF} ^ 2 = 3 ^ 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] (\ sqrt {5} – \ overline {AF}) ^ 2+ \ overline {BF} ^ 2 = (\ sqrt {5} +1) ^ 2 [/ matemáticas], respectivamente. Dadas estas ecuaciones [matemáticas] 2 [/ matemáticas], podemos resolver para [matemáticas] \ overline {AF} [/ matemáticas]. Específicamente, [matemáticas] \ overline {BF} ^ 2 = 9- \ overline {AF} ^ 2 = 6 + 2 \ sqrt {5} -5- \ overline {AF} ^ 2 + 2 \ sqrt {5} \ overline {AF} \ Rightarrow \ overline {AF} = \ frac {4 \ sqrt {5} -5} {5} [/ math]. Además, [matemáticas] \ overline {CF} = \ overline {AC} – \ overline {AF} = \ sqrt {5} – \ frac {4 \ sqrt {5} -5} {5} = \ frac {\ sqrt {5} +5} {5} [/ matemáticas].

Luego, notamos que [math] \ overline {AD} [/ math] es la altitud de [math] A [/ math]. Si bien esto no se da explícitamente en el problema, podemos determinarlo mediante una comprobación rápida del teorema de Pitágoras para [math] \ triangle ADB [/ math] y [math] \ triangle ADC [/ math]. Específicamente, vemos que [matemática] \ overline {AD} = 2 [/ matemática] satisface el teorema de Pitágoras para ambos triángulos: [matemática] 2 ^ 2 + \ sqrt {5} ^ 2 = 3 ^ 2 [/ matemática] y [matemáticas] 2 ^ 2 + 1 ^ 2 = \ sqrt {5} ^ 2 [/ matemáticas].

Ahora, podemos aplicar el teorema de Pitágoras en los siguientes triángulos: [matemáticas] \ triángulo AFE [/ matemáticas], [matemáticas] \ triángulo CFE [/ matemáticas] y [matemáticas] \ triángulo CDE [/ matemáticas]. Entonces obtenemos las siguientes ecuaciones, respectivamente. (1) [matemáticas] \ overline {AF} ^ 2 + \ overline {EF} ^ 2 = \ overline {AE} ^ 2 \ Rightarrow (\ frac {4 \ sqrt {5} -5} {5}) ^ 2 + \ overline {EF} ^ 2 = (\ overline {AD} – \ overline {DE}) ^ 2 \ Rightarrow (\ frac {4 \ sqrt {5} -5} {5}) ^ 2+ \ overline {EF } ^ 2 = (2- \ overline {DE}) ^ 2 [/ math]. (2) [matemáticas] \ overline {CF} ^ 2 + \ overline {EF} ^ 2 = \ overline {CE} ^ 2 \ Rightarrow (\ frac {\ sqrt {5} +5} {5}) ^ 2+ \ overline {EF} ^ 2 = x ^ 2 [/ math]. (3) [matemáticas] \ overline {CD} ^ 2 + \ overline {DE} ^ 2 = \ overline {CE} ^ 2 \ Rightarrow 1 ^ 2 + \ overline {DE} ^ 2 = x ^ 2 [/ math] . Por lo tanto, terminamos con [matemáticas] 3 [/ matemáticas] ecuaciones independientes y [matemáticas] 3 [/ matemáticas] variables desconocidas ([matemáticas] \ overline {DE} [/ matemáticas], [matemáticas] \ overline {EF} [ / math] y [math] x [/ math]). Podemos resolver fácilmente este sistema de ecuaciones por sustitución, terminando con [math] x = \ boxed {\ frac {3} {2}} [/ math].

Answer 2

La respuesta es 3/2.