Si a y b son dos vectores tales que | a + b | = | ab |, ¿cuál es el ángulo entre a y b?

Answer 1

¿No se conoce también el valor absoluto como módulo? 🙂

Simplemente cuadre ambos lados para tener

[matemáticas] (a + b) ^ 2 = (ab) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica (a + b) ^ 2- (ab) ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 4ab = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica ab = 0 [/ matemáticas]

¿Qué sabes cuando decimos que [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas] son ​​dos vectores y [matemáticas] a \ cdot b = 0 [/ matemáticas]?

Teorema de Proyección:

[matemáticas] \ cos \ theta = \ dfrac {a \ cdot b} {| a || b |} [/ matemáticas]

Si [math] a \ cdot b = 0 [/ math], entonces [math] \ cos \ theta = 0 \ implica \ theta = \ dfrac {\ pi} {2} [/ math]

Los vectores [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] son ​​perpendiculares entre sí.

Saludos 🙂

Answer 2

Escríbelo y veamos:

[matemáticas] | \ vec a + \ vec b | = \ sqrt {(\ vec a + \ vec b) \ cdot (\ vec a + \ vec b)} = \ sqrt {\ vec a \ cdot \ vec a + 2 \ vec a \ cdot \ vec b + \ vec b \ cdot \ vec b} [/ math]

[matemáticas] | \ vec a – \ vec b | = \ sqrt {(\ vec a – \ vec b) \ cdot (\ vec a – \ vec b)} = \ sqrt {\ vec a \ cdot \ vec a – 2 \ vec a \ cdot \ vec b + \ vec b \ cdot \ vec b} [/ math]

Como se nos da [matemáticas] | \ vec a + \ vec b | = | \ vec a – \ vec b | [/ matemáticas], es cierto que [matemáticas] | \ vec a + \ vec b | ^ 2 = | \ vec a – \ vec b | ^ 2 [/ matemáticas]. Esto limpia un poco las cosas. Ahora, tenemos lo siguiente:

[matemáticas] \ vec a \ cdot \ vec a + 2 \ vec a \ cdot \ vec b + \ vec b \ cdot \ vec b = \ vec a \ cdot \ vec a – 2 \ vec a \ cdot \ vec b + \ vec b \ cdot \ vec b. [/ math]

Después de un poco de limpieza (cancelando términos similares y moviendo todo a un lado de la ecuación), tenemos

[matemáticas] 4 \ vec a \ cdot \ vec b = 0 [/ matemáticas].

La Ley de cosenos relaciona el producto escalar de dos vectores con el coseno del ángulo [matemática] \ theta [/ matemática] entre ellos

[matemáticas] \ vec a \ cdot \ vec b = | \ vec a | | \ vec b | \ cos \ theta. [/ math]

Siempre que ninguno de los vectores sea el vector cero, entonces [math] \ cos \ theta [/ math] debe ser cero. Esto significa que [math] \ theta = \ frac {\ pi} {2}, \ frac {3 \ pi} {2} [/ math]. Cualquiera de las respuestas es válida.

Answer 3

Creo que sabe que en un paralelogramo, digamos que las diagonales no son iguales.

La diagonal más grande representa la suma de los vectores ay b.

La diagonal más pequeña representa la diferencia de los vectores ay b.

Usando la regla cos en trigonometría,

Tenemos | a + b | = sqrt (a * a + b * b + 2 * a * b * cos C)

donde a y b son los dos vectores y C es el ángulo entre los dos vectores a y b

y | a – b | = sqrt (a * a + b * b-2 * a * b * cos C)

Cuando | a + b | = | a – b |

Cuadrando ambos lados

(| a + b |) (| a + b |) = (| ab |) (| ab |)

Nos quedamos con

a * a + b * b + 2 * a * b * cosC = a * a + b + b-2 * a * b * cosC

Cancelando y reorganizando, obtenemos

4 * a * b * cosC = 0

cosC = 0

Sabemos que cos90 = 0

C = 90

Por lo tanto, los dos vectores son ortogonales.

Espero que esta discusión haya sido útil.

Estoy encantado si el destinatario responde.

Gracias

Answer 4

Dondequiera que se proporcione la magnitud del vector, siempre debe cuadrarlo.

[matemáticas] (a + b) [/ matemáticas] ^ [matemáticas] 2 = (a − b) [/ matemáticas] ^ [matemáticas] 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 + 2a.b = a ^ 2 + b ^ 2−2a.b [/ matemáticas]

[matemáticas] 4a.b = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] ab = 0 [/ matemáticas]

el producto punto de ab se da como abcos (ángulo) aquí el producto punto es 0. Por lo tanto, el ángulo entre a y b es 90 °.

Answer 5

Supongamos que el ángulo (definido desde [math] \ mathbf {a} [/ math] a [math] \ mathbf {b} \ [/ math] en sentido horario) entre los vectores es [math] \ theta, \ quad 0 \ le \ theta \ le 2 \ pi [/ math]. Luego, usando la regla del paralelogramo para la suma de vectores y la ley de cosenos

[matemáticas] | a + b | ^ 2 = | a | ^ 2 + | b | ^ 2 – 2 | a || b | \ cos \ theta. [/ matemáticas]

Del mismo modo, reconociendo que el ángulo entre [math] \ mathbf {a} [/ math] y [math] – \ mathbf {b} [/ math] es [math] \ pi – \ theta [/ math], obtenemos

[matemáticas] | ab | ^ 2 = | a | ^ 2 + | b | ^ 2 – 2 | a || b | \ cos (\ pi – \ theta) = | a | ^ 2 + | b | ^ 2 + 2 | a || b | \ cos \ theta. [/ Math]

Como, [matemáticas] | a + b | = | ab | [/ matemáticas],

[matemáticas] | a | ^ 2 + | b | ^ 2 – 2 | a || b | \ cos \ theta = | a | ^ 2 + | b | ^ 2 + 2 | a || b | \ cos \ theta .[/matemáticas]

O, en la simplificación, [matemáticas] \ cos \ theta = 0 [/ matemáticas].

Por lo tanto, [math] \ theta = \ dfrac {\ pi} {2} \ \ text {or} \ \ dfrac {3 \ pi} {2} [/ math].

Answer 6

Para el ángulo entre a y b tenemos estos valores ….. Porque

cosθ = a⋅b / | a || b |

Dado. El | a + b | = | a – b |

El | a + b | ² = | a – b | ²

a² + b² + 2ab = a² + b² – 2ab

………… .. 4ab = 0

Entonces …… a .b = 0

Pon el valor en esa ecuación ……

cosθ = 0 / | a || b |

cosθ = cos90 °

Entonces el ángulo entre ayb es 90 ° o π / 2

Espero eso ayude::)

Gracias………………..,

Answer 7

la + bl = la-bl, eso significa que ll indica un valor absoluto, entonces.

toma el cuadrado de ambos lados,

a ^ 2 + b ^ 2 + 2 ab = a ^ 2 + b ^ 2–2 ab—— → 4 ab = 0— → ab = 0, porque 4 es número.

En vectores producto ab = ab cos theta, por lo tanto ab cos theta = 0, ya que ab no es cero – →

cos theta = 0 ——-> theta = 90 grados, es decir, pi / 2.

Answer 8

[matemáticas] | a + b | = | ab | [/ matemáticas]

[matemáticas] | a + b | ^ 2 = | ab | ^ 2 [/ matemáticas]

Sabemos para cualquier vector [matemática] v [/ matemática], [matemática] v \ cdot v = | v | ^ 2 [/ matemática]

[matemáticas] (a + b) \ cdot (a + b) = (ab) \ cdot (ab) [/ matemáticas]

[matemáticas] a \ cdot a + a \ cdot b + b \ cdot a + b \ cdot b = a \ cdot aa \ cdot bb \ cdot a + b \ cdot b [/ math]

[matemáticas] 2 (a \ cdot b) = – 2 (a \ cdot b) [/ matemáticas]

[matemáticas] 4 (a \ cdot b) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] a \ cdot b = 0 [/ matemáticas]

Sabemos que el producto escalar de dos vectores [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] se puede encontrar usando [matemática] a \ cdot b = | a || b | \ cos {\ theta} [/ math] ([math] \ theta [/ math] es el ángulo agudo entre los dos vectores)

[matemáticas] | a || b | \ cos {\ theta} = 0 [/ matemáticas]

Como [math] | a | [/ math] y [math] | b | [/ math] probablemente no son 0 (los vectores tienen una longitud),

[matemáticas] \ cos {\ theta} = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto \ theta = \ arccos {0} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ theta = \ frac {\ pi} {2} = 90 ^ {\ text {o}} [/ matemáticas]

Por lo tanto, el ángulo (agudo) entre ellos es [matemática] \ frac {\ pi} {2} [/ matemática], o [matemática] 90 ^ {\ text {o}} [/ matemática], es decir, son ortogonales.

Answer 9

Dondequiera que vea la magnitud del vector, siempre debe cuadrarlo. Créeme. Ayuda

[matemáticas] (a + b) ^ 2 = (ab) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 + 2a.b = a ^ 2 + b ^ 2-2a.b [/ matemáticas]

[matemáticas] 4a.b = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] ab = 0 [/ matemáticas]

Ahora, cuando el producto escalar de dos vectores es 0, ¿cuál es el ángulo entre ellos? Es 90 grados porque cos (90 grados) = 0

Espero que lo encuentres más fácil

Answer 10

⑴ Dibujar // gm de vectores OARB,

OA = a

OB = b

∠AOB = ángulo entre ayb = ángulo agudo θ

⑵ OR = a + b

BA = ab

let | a | = x, | b | = y

| ab | ² = | BA | ² = x² + y² — 2xycosθ

| a + b | ² = | OR | ² = x² + y²-2xycos (180-θ) = x² + y²-2xy (-cosθ) = x² + y² + 2xycosθ

⑶ DADO:

| a + b | = | ab |

→ | a + b | ² = | ab | ²

→ x² + y² + 2xycosθ = x² + y²-2xycosθ

cosθ = -cosθ

2cosθ = 0

cosθ = 0

∵ 0 ° <θ <180 °

∴ θ = 90 °

Answer 11

[matemáticas] | a + b | ^ 2 = | ab | ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] (a + b) \ cdot (a + b) = (ab) \ cdot (ab) [/ matemáticas]

[matemáticas] a \ cdot a + b \ cdot b + 2a \ cdot b = a \ cdot a + b \ cdot b -2a \ cdot b [/ math]

[matemáticas] 4 a \ cdot b = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] a \ cdot b = 0 [/ matemáticas]

El producto de punto cero indica que [matemática] a [/ matemática] es ortogonal o perpendicular a [matemática] b, [/ matemática] por lo que el ángulo es [matemática] 90 ^ \ circ. [/ Matemática]

Answer 12

Todos han aplicado el método cuadrado. Entonces no debo.

Por la ley de suma del paralelogramo, a + by ab son las diagonales del paralelogramo. Como ambos son iguales, la figura es un paralelogramo con diagonales iguales, también conocido como un rectángulo.

De ahí el ángulo de un rectángulo en 90 °.

Answer 13

Dejar :

a = xi + yj

b = pi + qj

a + b = (x + p) i + (y + q) j

ab = (xp) i + (yq) j

| a + b | = | ab |

sqrt [(x + p) ^ 2 + (y + q) ^ 2] = sqrt [(xp) ^ 2 + (yq) ^ 2]

Cuadratura en ambos lados

(x + p) ^ 2 + (y + q) ^ 2 = (xp) ^ 2 + (yq) ^ 2

2xp + 2yq = -2xp – 2yq // El resto se cancela

4xp + 4yq = 0

xp + yq = 0 …………………………………. Eq1

De la ecuación 1 se puede decir que los vectores a y b son perpendiculares. [El producto de puntos de dos vectores es cero]

Por lo tanto, el ángulo entre ellos es 90.

Answer 14

[math] (\ vec {a} + \ vec {b}) [/ math] y [math] (\ vec {a} – \ vec {b}) [/ math] son ​​las diagonales del paralelogramo formado por [ matemáticas] \ vec {a} [/ matemáticas] y [matemáticas] \ vec {b} [/ matemáticas].

Como [math] | \ vec {a} + \ vec {b} | = | \ vec {a} – \ vec {b} | [/ math], las diagonales del paralelogramo tienen la misma longitud. Esto significa que el paralelogramo es un rectángulo.

Entonces [math] \ vec {a} [/ math] y [math] \ vec {b} [/ math] son ​​vectores ortogonales.

Answer 15

1. Tome θ como ángulo entre los vectores. Tenemos entonces,
2. a .b = ab Cosθ. De modo que aa = a ^ 2 = a ^ 2
3. Squa re ambos lados.

Implica

a ^ 2 + b ^ 2 + 2a.b = a ^ 2 + b ^ 2 – 2a.b

o

a ^ 2 + b ^ 2 + 2abCosθ = a ^ 2 + b ^ 2 – 2abCosθ

Implica

4a.b COsθ = 0. Lo que implica además

• Cos θ = 0 que significa θ = 90 °
• a perpendicular a b.

Answer 16

90 grados. Los dos vectores de diferencia constituyen las diagonales de un paralelogramo con los vectores a, b como los lados cercanos. Decimos también que las dos diagonales son de igual tamaño, esto significa que el paralelogramo es un rectángulo. El ángulo entre los dos lados del rectángulo es 90

Answer 17

En este caso, B tiene que ser un vector cero, o si B es diferente de cero, el ángulo entre A y B es 90 °.

Entonces, no hay un ángulo definido entre B y A, o es 90 °.

Answer 18

No necesita cuadrar ni hacer nada (bueno, solo si conoce bien todas las defensas), los dos mods dados son simplemente las 2 diagonales de un paralelogramo. Como son iguales, debe ser un rectángulo. Por lo tanto, el ángulo b / w de los lados adyacentes de un rectángulo es de 90 grados. (Este tipo de qstns son para verificar su conocimiento en profundidad) ¡espero que esto ayude!