¿Cuántos vértices tendrán los siguientes gráficos si contienen 24 aristas y todos los vértices del mismo grado?

Answer 1

Un gráfico [matemático] r [/ matemático] es aquel en el que el grado de cada vértice es [matemático] r [/ matemático]. Siempre es posible construir un [math] r [/ math] – gráfico regular en [math] n [/ math] vértices proporcionados [math] 0 \ le r \ le n-1 [/ math].

Si una [matemática] r [/ matemática] – gráfico regular tiene vértices [matemática] n [/ matemática] y aristas [matemática] m [/ matemática], entonces [matemática] nr = 2m [/ matemática] y [matemática] 0 \ le r \ le n-1 [/ math]. Si [math] m = 24 [/ math], esto lleva a [math] nr = 48 [/ math] con [math] 0 \ le r \ le n-1 [/ math]. Las únicas posibilidades para el par ordenado [matemáticas] (n, r) [/ matemáticas] son ​​[matemáticas] (48,1) [/ matemáticas], [matemáticas] (24,2) [/ matemáticas], [matemáticas] ( 16,3) [/ matemáticas], [matemáticas] (12,4) [/ matemáticas] y [matemáticas] (8,6) [/ matemáticas]. Por lo tanto, el número de vértices podría ser cualquiera de [matemática] 48 [/ matemática], [matemática] 24 [/ matemática], [matemática] 16 [/ matemática], [matemática] 12 [/ matemática], [matemática] 8 [/ matemáticas]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 2

Si no requerimos que el gráfico esté conectado, podríamos tener 48 vértices que se emparejan para tener un grado 1, también podríamos tener 4 instancias de K4, cada uno de estos ejemplos tiene 24 aristas pero un número diferente de vértices.

De hecho, podemos encontrar ejemplos que están conectados con diferentes números de vértices.

Un ciclo de tamaño 24 tendrá 24 aristas y cada vértice tendrá grado 2.

Comience con un ciclo de tamaño 12, luego, para cada vértice i en el ciclo, conéctelo a i + 2 e i-2. Este gráfico tiene 24 aristas y cada vértice tiene grado 4.