¿Cuál es la fórmula para encontrar las dimensiones de un octágono regular inscrito en un círculo?

Answer 1

Hay un error en la respuesta de Anurag a continuación. Si usamos el mismo diagrama:

AO = BO = radio del círculo, digamos [math] r [/ math]

AB = lado del octágono, digamos [matemáticas] l [/ matemáticas]

[matemáticas] \ angle OAB = \ angle OBA = \ displaystyle \ frac {180-45} {2} = \ displaystyle \ frac {135} {2} = 67.5 [/ math]

Caiga una perpendicular de B a AO; que su longitud sea [matemática] x [/ matemática].

Entonces, [math] sin \ angle AOB = \ displaystyle \ frac {x} {r} [/ math]

[math] \ Rightarrow x = r.sin 45 [/ math]

y [math] sin \ angle OAB = \ displaystyle \ frac {x} {l} [/ math]

[math] \ Rightarrow x = l.sin 67.5 [/ math]

[matemática] \ Rightarrow l.sin 67.5 = r.sin 45 [/ math]

[math] \ Rightarrow l = \ displaystyle \ frac {r.sin 45} {sin 67.5} [/ math]

[matemática] \ Rightarrow l = 0.765r [/ matemática] (aprox.)

No es muy difícil derivar la fórmula general para cualquier polígono regular inscrito de n lados.

El ángulo central sería [matemáticas] \ displaystyle \ frac {360} {n} [/ matemáticas]

Los otros dos ángulos iguales serían [matemática] \ displaystyle \ frac {180- \ frac {360} {n}} {2} [/ matemática]

[matemáticas] = 90- \ displaystyle \ frac {180} {n} [/ matemáticas]

Al igual que con el caso específico anterior del octágono, la relación entre el radio y la longitud del lado sería

[matemáticas] l.sin (90- \ frac {180} {n}) = r.sin \ displaystyle \ frac {360} {n} [/ math]

Por identidades trigonométricas sabemos

[matemáticas] sin (90- \ theta) = cos \ theta [/ matemáticas]

Por lo tanto

[matemáticas] l.cos \ displaystyle \ frac {180} {n} = r.sin \ displaystyle \ frac {360} {n} [/ math]

[math] \ Rightarrow l = \ displaystyle \ frac {r.sin \ frac {360} {n}} {cos \ frac {180} {n}} [/ math]

También sabemos por identidades trigonométricas que

[matemáticas] sin 2 \ theta = 2.sin \ theta.cos \ theta [/ math]

Entonces [matemáticas] sin \ displaystyle \ frac {360} {n} = sin (2 \ times \ displaystyle \ frac {180} {n}) [/ math]

[matemáticas] = 2.sin \ displaystyle \ frac {180} {n} .cos \ displaystyle \ frac {180} {n} [/ math]

Sustituyendo,

[matemáticas] l = \ displaystyle \ frac {r \ times 2.sin \ frac {180} {n} .cos \ frac {180} {n}} {cos \ frac {180} {n}} [/ math]

[math] \ Rightarrow l = 2r.sin \ displaystyle \ frac {180} {n} [/ math] (Fórmula general)

Para probarlo, sustituya n = 8, luego

[matemáticas] l = 2r.sin \ displaystyle \ frac {180} {8} [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow l = 2r.sin22.5 [/ math]

[matemática] \ Rightarrow l = 2r \ veces 0.382 [/ matemática] (aprox.)

[matemática] \ Rightarrow l = 0.765r [/ matemática] (aprox.)

Answer 2

Arriba hay un octágono regular inscrito en un círculo. Para un ángulo de octágono regular formado por lados en el vértice es 135. Entonces podemos encontrar que el ángulo ABO es 67.5. Entonces, en el triángulo ABO podemos usar la regla de seno para descubrir su lado si se conoce uno de los lados.

aquí

(AB / seno (AOB = 45)) = (AO / seno (ABO = 67.5)) = (BO / seno (OAB = 67.5))

Aquí, conocemos el radio del círculo, es decir, OA = OB = Radio r …………………… (decir)

Entonces, se puede encontrar el lado del octágono AB.

AB = r * (seno 67.5 / seno 45)

Nota: Por favor verifique. No sé la fórmula exacta y no la he verificado.