Cantor, Weierstrass y Dedekind evitaron deliberadamente usar geometría en el análisis. Esto se conoce como ‘análisis de aritmetización’ y reduce la cantidad de axiomas que debemos aceptar sin pruebas. La construcción de corte Dedekind es ingeniosa, pero muy simple. Es una versión aritmética de lo que hizo Eudoxo en la antigua Grecia.
Dedekind usó un par de conjuntos de números racionales, pero daré una definición equivalente con un conjunto. Defina un número real como un conjunto de números racionales, L, con un complemento no vacío, de modo que L no tenga un miembro mayor y todos los números racionales menores que un miembro de L estén en L. Si hay un número racional que no esté en L, de modo que L es el conjunto de todos los números más pequeños, puede pensar que L representa este número. Si no, puede pensar que L representa un número irracional. En ese caso, ¿podemos demostrar que existe tal conjunto? Si es así, no es necesario un nuevo axioma. Es posible que desee mostrar que los números reales, definidos de esta manera, están completos, es decir, cada conjunto no vacío de números reales con un límite superior tiene un límite superior mínimo. Primero debes definir la desigualdad de los números reales.