¿Cuál es el espacio tangente de un cono en R ^ n en el origen?

Answer 1

Veamos el cono habitual [matemática] z ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 [/ matemática] en [matemática] \ mathbf R ^ 3 [/ matemática]. El plano tangente en un punto en ese cono es un plano que pasa a través de ese punto que está “infinitesimalmente” cerca del cono en ese punto.

Por ejemplo, el espacio tangente en el punto [matemática] (1,0,1) [/ matemática] en el cono es el plano dado por la ecuación [matemática] z = x [/ matemática]. En la figura siguiente, el cono es rojo, el punto negro y el plano tangente verde.

Tenga en cuenta que el plano tangente del cono se cruza con el cono a lo largo de una línea. Esa línea pasa por el origen. Cada plano tangente pasa por el origen.

Ahora, preguntas sobre el plano tangente en el origen. El origen es un punto singular del cono. No tiene un plano tangente.

Answer 2

Suponiendo que el cono es n-dimensional y el origen es el punto del cono, entonces el espacio tangente es todo el espacio tangente a R ^ n en ese punto. El cono tangente del cono es un cono en el espacio tangente que se ve exactamente como el cono original que se encuentra dentro de R ^ n. Las pruebas de estos hechos dependen del contexto preciso y las definiciones con las que está trabajando, pero generalmente se siguen directamente de las definiciones.