Pregunta muy interesante!
Un problema con este problema es que, debido a que estamos buscando separar en longitudes, tenemos que convertir todo a su longitud y luego encontrar un punto con nuestra longitud deseada en la misma línea.
Lo primero que queremos hacer es calcular la distancia de esa línea.
Usando la fórmula de la distancia, [math] sqrt ((20-1) ^ 2) + (18-10) ^ 2) = sqrt (425) = 5 * sqrt (17). [/ Math]
- ¿Cuál es el espacio tangente de un cono en R ^ n en el origen?
- ¿Qué se entiende por pendiente 1:50?
- ¿Qué significa encontrar la pendiente de una línea tangente a un gráfico?
- Si la magnitud de los vectores P y Q son iguales donde P = A + B y Q = AB, ¿cuál es el ángulo entre A y B?
- ¿Por qué la pendiente de la tangente en una curva paramétrica no es igual a la velocidad?
Entonces, sabemos que la distancia total de AB se dividirá en 7 partes, por lo que podemos dividir la distancia por 7, dándonos:
[matemáticas] (5 * sqrt (17)) / 7. [/ math] Entonces, estamos tratando con una sección de 5 veces eso, y una sección de 2 veces eso. Eso nos lleva con longitudes
[matemáticas] (25 * sqrt (17)) / 7 [/ matemáticas] y [matemáticas] (10 * sqrt (17)) / 7. [/matemáticas]
Entonces, esto es útil, pero eso no nos dice dónde estará este punto. De esta manera, primero debemos determinar la ecuación de la línea AB mencionada. La pendiente, que es el cambio en y sobre el cambio en x, nos da:
Pendiente = [matemáticas] 8/19 [/ matemáticas]
Y alguna sustitución en forma de pendiente de punto nos da: [matemática] y = 8 / 19x + 182/19 [/ matemática]
Ahora, volvamos a poner esta distancia en nuestra ecuación de distancia, solo sustituyendo x e y por las coordenadas que no sabemos nos da:
[matemáticas] (x-1) ^ 2) + (y-10) ^ 2 = (10 * sqrt (17) / 7) ^ 2. [/ matemáticas]
Y debido a lo anterior, sabemos lo que y es igual en nuestra ecuación, podemos sustituir y, dándonos:
[matemáticas] (x-1) ^ 2) + ([/ matemáticas] [matemáticas] 8 / 19x + 182/19 [/ matemáticas] [matemáticas] -10) ^ 2 [/ matemáticas] [matemáticas] = 1700/49 [/matemáticas]
[matemáticas] (x-1) ^ 2) + ([/ matemáticas] [matemáticas] 8 / 19x + 182/19 [/ matemáticas] [matemáticas] -10) ^ 2 [/ matemáticas] [matemáticas] = 1700/49 [/matemáticas]
[matemática] x ^ 2 – 2x + 1 + [/ matemática] [matemática] ([/ matemática] [matemática] 8 / 19x – 8/19 [/ matemática] [matemática]) ^ 2 [/ matemática] [matemática] = 1700/49 [/ matemáticas]
[matemática] x ^ 2 – 2x + 1 + 64 [/ matemática] [matemática] / 361x ^ 2 – 128 / 361x + 64/361 [/ matemática] [matemática] = 1700/49 [/ matemática]
[matemática] 425 / 361x ^ 2 – 850 / 361x – 33.51659223 = 0 [/ matemática]
Y factorizar esto nos da con:
[matemáticas] x = 6.4286 [/ matemáticas] o [matemáticas] x = -4.4188 [/ matemáticas]
Que obviamente es el primero, ya que el segundo está fuera de rango. Insertar este número en la ecuación nos da:
[matemáticas] y = 8 / 19x + 182/19 [/ matemáticas]
[matemáticas] y = (8/19) * 6.4286 + 182/19 [/ matemáticas]
[matemáticas] y = 12.2857 [/ matemáticas]
Lo cual, finalmente, nos da una respuesta de aproximadamente [matemáticas] (6.4286, 12.2857) [/ matemáticas]
Tenga en cuenta que estos números se volvieron realmente extraños y llenos de decimales solo por cómo resultó ser la distancia inicial (radical 17).
EDITAR: Acabo de darme cuenta que 6.4286 es exactamente 45/7 y 12.2857 es exactamente 86/7. En otras palabras, todo esto puede reducirse exactamente a lo que encontró Stephen Gary.
¡Espero que esto ayude! Debido a que era un problema tan largo, avíseme si cometí algún error o si algo no tiene sentido. 🙂
Conner D