La velocidad es [math] s ‘= \ frac {ds} {dt} [/ math], donde [math] s [/ math] es la longitud del camino de la curva paramétrica (en un plano euclidiano, esto es [math] s ‘^ 2 = x’ ^ 2 + y ‘^ 2 [/ matemática].
La pendiente de la tangente a la curva es [matemática] \ frac {dy} {dx} [/ matemática]. En general, no tiene nada que ver con la parametrización de [math] x (t), y (t) [/ math] y, por lo tanto, tiene muy poco que ver con [math] s ‘[/ math].
Para un ejemplo concreto, considere la familia de curvas paramétricas definidas por [math] x = \ cos ct, y = \ sin ct [/ math]. Son círculos idénticos, y la única diferencia entre las curvas es la rapidez con la que uno se mueve alrededor del círculo, según el valor de [math] c [/ math]. Obtiene [matemática] s ‘^ 2 = (-c \ sin ct) ^ 2 + (c \ cos ct) ^ 2 = c ^ 2 (\ sin ^ 2 ct + \ cos ^ 2ct) = c ^ 2 [/ matemática], entonces [matemática] s ‘= c [/ matemática], mientras que la pendiente [matemática] \ frac {dy} {dx} = \ frac {dy} {dt} \ frac {dt} {dx} = \ frac {c \ cos ct} {c \ sin ct} = \ cot ct [/ math].
La velocidad es constante, la pendiente de la tangente varía con el tiempo, por lo que no son iguales.
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No sé de una curva paramétrica donde la pendiente tangente sea igual a la velocidad. Tendría que resolver la ecuación diferencial [matemáticas] \ frac {dy} {dx} = \ frac {ds} {dt} = \ sqrt {\ frac {(dx} {dt}) ^ 2 + (\ frac {dy } {dt}) ^ 2} [/ math], que probablemente tiene una solución, pero no sé cuál es.