¿Por qué la fórmula para la suma de ángulos internos en un polígono convexo funciona para polígonos cóncavos?

Answer 1

Imagine que tiene un polígono simple (lo que significa que no se cruza por sí mismo) y lo está caminando en el sentido de las agujas del reloj, de modo que, en un borde, el interior está a su derecha.

En cada vértice [matemática] i [/ matemática] girará en cierta cantidad [matemática] \ theta_i [/ ​​matemática] a la derecha, y el ángulo interior en ese vértice es [matemática] 180 ^ \ circ – \ theta_i [/ matemáticas].

Si hay n vértices, entonces el total de los vértices interiores es [matemática] \ sum_ {i = 1} ^ n (180 ^ \ circ – \ theta_i) = n180 ^ \ circ – \ sum_ {i = 1} ^ n \ theta_i [/ ​​math]. Como te has dado la vuelta una vez para volver a donde empezaste, tu total de vueltas [math] \ sum_ {i = 1} ^ n \ theta_i = 360 ^ \ circ [/ math]. Entonces, la suma de los vértices interiores es [matemática] n180 ^ \ circ – 360 ^ \ circ = (n-2) 180 ^ \ circ [/ matemática].

Si el polígono es convexo, todos sus turnos estarán a la derecha y [math] \ theta_i> 0 [/ math]. Si el polígono es cóncavo, algunos (pero no todos) de los giros estarán a la izquierda, y para esos giros [math] \ theta_i 0 [/ math] de arriba, solo que dado que el polígono no se cruza a sí mismo, y terminaste de nuevo donde empezaste, debes haber dado la vuelta una vez, o [math ] 360 ^ \ circ [/ math], en total.

Answer 2

La descomposición de un polígono convexo en triángulos seguirá funcionando, solo necesita ser un poco más inteligente sobre qué conjunto de triángulos elige.