¿Qué es la geometría diferencial discreta?

Answer 1

En términos generales, la geometría diferencial discreta (DDG) estudia la forma en que las ideas clave de la geometría diferencial se muestran incluso cuando la geometría no es realmente diferenciable.

Un ejemplo estándar es el teorema de Gauss-Bonnet, que dice que la curvatura total de una superficie depende solo de cuántas asas tiene una superficie y no de cómo se sienta en el espacio. Por ejemplo, cada taza de café y cada dona en el mundo tienen exactamente la misma curvatura total, eso es un hecho. Sin embargo, tradicionalmente, la definición de curvatura depende de poder tomar 2das derivadas. Entonces, uno podría estar inclinado a pensar que Gauss-Bonnet no se aplica a objetos no diferenciables como un poliedro. Sin embargo, puede cocinar fácilmente un análogo discreto de curvatura (es decir, la desviación de la suma del ángulo alrededor de cada vértice de 2π) de modo que el total nuevamente dependa solo del número de asas. Es decir, una versión discreta de Gauss-Bonnet.

En términos más generales, este es el juego que a menudo se juega en DDG: defina el objeto discreto de manera que conserve exactamente las relaciones importantes de la configuración uniforme.

Una forma de ver esta situación es que las observaciones hechas inicialmente sobre el comportamiento de múltiples diferenciables pueden no depender de ninguna manera fundamental de que la geometría sea diferenciable. Esa fue solo la “lente” inicial a través de la cual se observó por primera vez el comportamiento, y desde allí a menudo se puede dar un paso atrás y obtener un principio más general. Desde un punto de vista práctico, esta actividad es valiosa porque significa que las ideas de la imagen matemática uniforme se pueden usar para construir algoritmos para trabajar con conjuntos de datos geométricos digitales (que son inherentemente discretos). También proporciona explicaciones intuitivas y discretas de conceptos que pueden tener una curva de aprendizaje más pronunciada en un entorno fluido.

Hay una serie de buenos recursos para obtener más información sobre DDG:

• Foro discreto de geometría diferencial (y muchos enlaces en el mismo)
• Curso sobre Geometría Diferencial Discreta @ CMU (Notas del Curso)
• Taller discreto de geometría diferencial en Oberwolfach (ver informe)

Answer 2

Extiende el campo de la geometría diferencial a espacios discretos, que son útiles en gráficos por computadora, análisis / modelado de datos y teoría de grafos. Caltech tiene algunos buenos tutoriales sobre cálculo exterior discreto, que extiende muchas herramientas de geometría diferencial a las mallas.

Answer 3

No sé exactamente a qué te refieres, pero tal vez pueda ser algo como este Método de Bochner para complejos celulares y curvatura combinatoria de Ricci: el desarrollo de nociones que son análogas a las nociones de geometría diferencial (diferentes tipos de curvaturas, métricas, etc. ) para objetos discretos, como gráficos, complejos sipliciales, complejos celulares, etc.