¿Qué significa encontrar la pendiente de una línea tangente a un gráfico?

Answer 1

Querido Joshua, escribiste “pendiente es” m = y2-y1 / x2-x1
eso es correcto e incorrecto. Dejame explicar.

Si una línea recta (un rect) pasa a través de estos dos puntos A (3, 2) y B (-1, 5) la ecuación de este rect tiene que ser “y = mx + n” donde m es la pendiente yn es donde el rect cruza el hacha “y”. Para calcular m recurrimos a su expresión, con x2 = -1, y2 = 5, x1 = 3, y1 = 2 y obtenemos m = (5-2) / (- 1-3) = 3 / -4 = – 3/4
Nuestra ecuación rect es ahora y = -3/4 x + n para descubrir n solo obliga a la ecuación a cumplir con el punto A (3,2) yA = -3/4 xA + n => 2 = -3 * 3/4 + n =>
ya que el 4 en el denominador nos está molestando, lo que complica el aislamiento de n
un truco es deshacerse del denominador simplemente multiplicando toda la ecuación por 4

4 * 2 = -3 * 3 + 4 * n => (8 + 9) / 4 = n => n = 17/4 ===>
nuestro rect está representado por la ecuación y = -3/4 x + 17/4
de la misma manera que “naranja” representa una fruta.
Todos los puntos por los que pasa este rect obedecen esta regla y = -3/4 x + 17/4 => 4 y = -3 x + 17 es la misma regla y el mismo rect, y también 4 y + 3 x = 17, o 4 y + 3 x -17 = 0, es el mismo rect.

por ejemplo, el punto (0, 1) no obedece la regla, por lo que el rect no pasa a través de (0,1), pero el punto (-5, 8) sí, y también (-9,11), es fácil, simplemente agregue -4 a la xy 3 a la y, moviéndose de esta manera a través del plano XY, y puede estar seguro de que se está moviendo con una dirección paralela a nuestro rect, la pendiente -3/4 significa que: “4 menos pasos para xy 3 pasos más para el eje Y.

Estos son los rectos A x + B y + C = 0, sus pendientes m = -A / B, cross y ax en n = -C / B.

Pero la pendiente de una curva en un punto, digamos x = xp, es el valor de la derivada en ese punto.

la ecuación de la curva debe ser “y = f (x). La tangente a la curva es un rectángulo, y necesitamos encontrar exactamente la pendiente myn.

m = df (x) / dx evaluado en x = xp.
para calcular n forzarlo a tocar al bebé en el punto (xp, f (xp)) =>
f (xp) = [correo electrónico protegido] * xp + n

Por ejemplo: la curva y = f (x) = x ^ 2 – 27/4 x + 53/4 es tal que, como nuestro rect anterior, pasa por el punto A (3,2), y no solo eso, cuando en el punto A, esta curva tiene la misma pendiente (tangente) que nuestro rect. Entonces, ambos, curva y rect, pasan a través de A con el mismo ángulo. Veamos cómo obtener la pendiente de la cuve en x = 3, porque 3 era la x de A.

df (x) = 2 x – 27/4 en x = 3 df (x) @ x = 3 = 2 * 3 – 27/4 = -3/4.

Answer 2

¿Pero qué pasa si solo le doy un pt?

Una línea que toca la curva en un punto (puede cruzar la curva, pero no la cruza en ángulo) es la línea tangente. El gradiente de la curva (si tiene una) es, por definición, el gradiente de la tangente. Un punto no determina una línea, pero si también conoce la ecuación de la curva, entonces la diferencia en el punto dado.

Su fórmula para m da el gradiente promedio de la curva entre los puntos (x1, y1) y (x2, y2). Para encontrar el gradiente en el punto (x1, y1), debe dejar que x2 se acerque a x1. Si el gradiente resultante tiende a un límite, ese es el gradiente de la línea tangente.

Por ejemplo, el gradiente de la gráfica de la función f (x) = x ^ 2 en el punto (x1, f (x1)) (llame a esto (x1, y1)) se encuentra eligiendo otro punto (x2, f (x2) ) (llame a esto (x2, y2)) y luego aplique su regla de gradiente (y2-y1) / (x2-x1) = (x2 ^ 2-x1 ^ 2) / (x2-x1) = (x2-x1) = (x2 + x1) (x2 -x1) / (x2-x1). En la última forma, puede cancelar siempre que x2! = X1. Ahora, si x2 está muy cerca de x1, esto está muy cerca de 2 × 1. Puede hacer que el resultado sea lo más cercano a 2 × 1 que desee tomando x2 lo suficientemente cerca de x1. Esto es lo que queremos decir con “tiende a” o “tiene el valor límite”.

Answer 3

Solo hay una forma de encontrar la pendiente de una línea tangente a una curva (que yo sepa), y es tomar la derivada. Si tenemos alguna función [matemática] f (x) [/ matemática], que es suave en algún momento [matemática] x = a [/ matemática], la primera derivada, [matemática] f ‘(a) [/ matemática] nos dirá la pendiente de la línea tangente. La derivada se define evaluando el cociente de diferencia

Tomamos el límite cuando [math] h [/ math] se acerca a cero, y esta es una definición de la derativa. Se puede demostrar fácilmente que el cociente de diferencia es equivalente a decir que la pendiente es igual al cambio en alguna variable dependiente [matemática] y = f (x) [/ matemática] dividida por alguna variable independiente [matemática] x [/ matemática], que es lo que escribiste en la sección de detalles. Lo que está haciendo la derivada es reducir ese cambio en [matemáticas] x [/ matemáticas] a una cantidad infinitamente pequeña (sí, matemáticos, sé que esto no es estrictamente cierto, pero es la mejor explicación intuitiva que conozco). Eso da la pendiente en un punto.

Answer 4

Tus instintos son completamente correctos. La pendiente de una línea es [matemática] m = \ frac {y_2-y_1} {x_2-x_1} [/ matemática] y para encontrar la pendiente de una línea, debe definir la línea y una línea no está definida solo por un punto. Se define por dos puntos. ¡Pero solo te dan un punto! Entonces, crea un nuevo punto, y eso hace dos, y luego mueve el nuevo punto cada vez más cerca del punto que te dieron. Puede definir una línea entre esos dos puntos y, por lo tanto, puede encontrar su pendiente utilizando su fórmula [matemática] m [/ matemática]. Si la curva se comporta bien, a medida que mueve el nuevo punto cada vez más cerca del punto dado, la rotación de la línea se ralentizará y se detendrá en alguna pendiente cuando el nuevo punto esté exactamente en el punto dado.

Intente esto con un lápiz o una regla y una mesa redonda. Intersecte el borde de la mesa en dos lugares en el borde de la mesa y mueva el lápiz / regla para que esos puntos se junten. En una mesa circular, eso generalmente debería ser perpendicular al eje.

Algebraicamente, se le da una curva que tiene una función [matemática] y = f (x) [/ matemática] y solo un punto [matemática] (x, y) [/ matemática] y se le dice que el punto está en esa curva. Entonces su punto dado es [matemáticas] (x, f (x)) [/ matemáticas]. Elige un nuevo punto [matemática] (x + d, f (x + d)) [/ matemática]. No importa qué [math] d [/ math] sea inicialmente, siempre que [math] f (x + d) [/ math] tenga un valor. La pendiente inicial de su línea es [matemática] m = \ frac {y_2-y_1} {x_2-x_1} [/ matemática] [matemática] = \ frac {f (x + d) -f (x)} {(x + d) -x} [/ math] [math] = \ frac {f (x + d) -f (x)} {d} [/ math]. A medida que [math] d [/ math] se hace cada vez más pequeño, su línea se acerca cada vez más a la tangente y [math] m [/ math] se acerca cada vez más a la pendiente de esa tangente. Si [math] f (x) [/ math] se comporta bien (es decir, es diferenciable en [math] x [/ math]), el [math] d [/ math] en [math] \ frac {f (x + d) -f (x)} {d} [/ math] se cancelará por lo que no está dividiendo cero por cero y tendrá un valor para [math] m [/ math] cuando [math] d [ / math] llega a cero.

[math] \ frac {f (x + d) -f (x)} {d} [/ math] es la derivada de [math] f (x) [/ math] en el punto [math] x [/ math ]

Answer 5

Sí, tiene razón en que la línea tangente toca una curva en un solo punto. Pero es una línea, por lo que también pasa a través de puntos infinitos y tiene una pendiente.

Ahora digamos que solo se le da el punto de contacto de la curva. En ese caso, ¿cómo encontrarás la pendiente de la línea tangente?

En ese caso busca otra información.

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Por ejemplo, supongamos que se le da un círculo con centro (h, k) y el punto de contacto de la tangente es (x1, y1).

¿Cómo encontrarás la ecuación de la tangente ya que solo tienes un punto de contacto?

Sabemos que el radio es perpandicular a tangengt en el punto de contacto, por lo que el segmento de línea que une (h, k) y (x1, y1) es perpandicualr a tangente en (x1, y1). Usando esta información puedes encontrar la pendiente de la tangente. Dado que la pendiente de la tangente será el recíproco negativo de la pendiente del radio.

Una vez que obtienes la pendiente, derivar la ecuación es un juego de niños.

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Ahora, pendiente del radio = (k-y1) / (h-x1)

por lo tanto, la pendiente de la tangente es = – (h-x1) / (k-y1)

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Entonces, la moraleja es que en los casos en que solo se da un punto de contacto de tangente. Utiliza otra información que puede tener basada en la geometría básica y el razonamiento para avanzar.

Answer 6

Hay algunas maneras:

Para ciertas curvas especiales, puede usar medios geométricos para encontrar la línea tangente a la curva en el punto. Para los círculos, la línea tangente es perpendicular al radio a través de ese punto. Para las elipses, puede dibujar dos líneas desde el punto hasta los focos, encontrar la bisectriz del ángulo formado y la línea tangente es perpendicular a esa bisectriz. etc., etc. Una vez que tenga la línea tangente, puede encontrar la pendiente.

Sin embargo, en general, debe averiguar qué sucede en los puntos de la curva cercanos al punto dado. Si se le pide que encuentre la pendiente de la línea tangente de [matemáticas] f (x) [/ matemáticas], puede aproximar esto mirando la pendiente de la línea a través de los dos puntos [matemáticas] (x, f (x )), (x + h, f (x + h)) [/ math]. Esto le da la pendiente [matemáticas] m \ aprox \ frac {f (x + h) -f (x)} {(x + h) -x} = \ frac {f (x + h) -f (x) } {h} [/ matemáticas]. Puede hacer que [math] h [/ math] sea cada vez más pequeño si lo desea, y si [math] f (x) [/ math] funciona bien, puede tomar el límite como [math] h \ a 0 [/ math] para obtener [matemáticas] m = \ lim_ {h \ to0} \ frac {f (x + h) -f (x)} {h} [/ matemáticas].

Si ha tenido suficientes matemáticas, lo reconocerá como la definición de la derivada de [matemáticas] f (x) [/ matemáticas]. Entonces tomas tu función y la encuentras derivada, y esa es la pendiente de la tangente.

Answer 7

Tienes todo bien con una excepción, te olvidas de que en el punto de un gráfico, la línea que es tangente y el gráfico en ese punto tendrán la misma pendiente. La primera derivada le dará pendiente en todos los puntos del gráfico, por lo que todo lo que tiene que hacer es conectarlo a su ecuación.

entonces

f (x) = – es tu función, en algún momento w = (x1, y1) tienes una línea tangente

necesito encontrar

f ‘(x) = ??

entonces f ‘(x1) = m

– Esta es tu pendiente en ese punto.

entonces simplemente inserte los valores en esta ecuación m = (y-y1) / (x-x1) resuelva para y