Cómo resolver la ecuación de una tangente a un círculo

Answer 1

Depende del tipo de círculo que tenga (¿está el centro ubicado en el origen?) Y qué tipo de tangente está buscando.

Hay diferentes formas de ecuaciones de tangentes a un círculo, a saber: forma de punto, forma de pendiente y forma paramétrica.

Tomemos el caso estándar: un círculo con su centro en el origen que tiene un radio de longitud ‘[math] r [/ math]’. La ecuación de dicho círculo sería [matemática] x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 [/ matemática]

Forma de pendiente: la ecuación de la tangente de la pendiente [matemática] m [/ matemática] al círculo [matemática] x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 [/ matemática] es [matemática] y = mx \ pm r \ sqrt {(1 + m ^ 2)} [/ math] y las coordenadas del punto de contacto son [math] \ displaystyle \ left (\ pm \ dfrac {rm} {\ sqrt {(1 + m ^ 2) }}, \ mp \ dfrac {r} {\ sqrt {(1 + m ^ 2)}} \ right) [/ math]

Obviamente no tiene que memorizar los puntos de contacto, pero recordar la ecuación de tangente de una pendiente dada es bastante útil.

Prueba: Bueno, piensa así, tienes una línea recta tocando una curva (un círculo en este caso) en un punto particular.

Supongamos que la ecuación de la recta tangente sea [matemática] y = mx + c [/ matemática]

Tenemos la ecuación del círculo como [matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 [/ matemáticas]

Para resolver estas dos ecuaciones, sustituimos [math] y = mx + c [/ math] en la otra ecuación,

[matemáticas] \ displaystyle x ^ 2 + (mx + c) ^ 2 = r ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle x ^ 2 + m ^ 2x ^ 2 + c ^ 2 + 2mxc = r ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle (m ^ 2 + 1) x ^ 2 + 2mxc + c ^ 2 – r ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

Obtenemos una ecuación cuadrática en x. Si la línea recta hubiera cruzado el círculo en dos puntos distintos, habríamos obtenido dos raíces reales distintas al resolver esta ecuación cuadrática.

Pero, dado que asumimos [matemáticas] y = mx + c [/ matemáticas] como una línea tangente al círculo, toca el círculo en un solo punto. Por lo tanto, las raíces de esta ecuación cuadrática deben ser reales e iguales.

[matemáticas] \ implica [/ matemáticas] Discriminante [matemáticas] = b ^ 2 – 4ac = 0 [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemáticas] \ displaystyle 4m ^ 2c ^ 2 = 4 (m ^ 2 + 1) (c ^ 2 – r ^ 2) \ implica 4m ^ 2c ^ 2 = 4m ^ 2c ^ 2 – 4m ^ 2r ^ 2 + 4c ^ 2 – 4r ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica c ^ 2 = m ^ 2r ^ 2 + r ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ boxed {c = \ pm r \ sqrt {1 + m ^ 2}} [/ math]

Sustituyendo [math] c [/ math] en [math] y = mx + c [/ math] obtenemos la línea tangente como,

[matemáticas] \ displaystyle \ boxed {y = mx \ pm r \ sqrt {1 + m ^ 2}} [/ math]

Del mismo modo, puede derivar la ecuación de la tangente de una parábola, una hipérbola o una elipse dada.

Forma del punto: La ecuación de la tangente de un círculo [matemática] x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 [/ matemática] en [matemática] (x_1, y_1) [/ matemática] es [matemática] xx_1 + aa_1 = r ^ 2 [/ matemáticas]

Prueba: puede derivar esto fácilmente utilizando el cálculo.

Como [math] (x_1, y_1) [/ math] se encuentra en el círculo,

[matemáticas] \ displaystyle {x_1} ^ 2 + {y_1} ^ 2 = r ^ 2 [/ matemáticas]

Ahora, diferenciando la ecuación del círculo wrt [matemáticas] x [/ matemáticas] obtenemos,

[matemática] \ displaystyle 2x + 2yy ‘= 0 [/ matemática]

Pendiente en el punto [matemáticas] (x_1, y_1) [/ matemáticas]:

[matemáticas] \ displaystyle y ‘\ biggr {|} _ {(x_1, y_1)} = – \ dfrac {x} {y} \ biggr {|} _ {(x_1, y_1)} = – \ dfrac {x_1} {y_1} [/ matemáticas]

Ecuación de línea tangente: [matemática] (y-y_1) = – \ dfrac {x_1} {y_1} (x-x_1) [/ matemática]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica xx_1 + aa_1 = {x_1} ^ 2 + {y_1} ^ 2 = r ^ 2 [/ matemáticas]

[math] \ displaystyle \ implica \ boxed {xx_1 + aa_1 = r ^ 2} [/ math]

Forma paramétrica: La ecuación de la tangente al círculo [matemática] x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 [/ matemática] en el punto [matemática] \ displaystyle \ left (acos \ theta, asin \ theta \ right) [ / math] es [math] xcos \ theta + ysin \ theta = r [/ math]

Prueba: La ecuación de la tangente de un círculo [matemática] x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 [/ matemática] en [matemática] (x_1, y_1) [/ matemática] es [matemática] xx_1 + aa_1 = r ^ 2 [/ math] (usando la forma de punto de la tangente)

Poniendo [math] \ displaystyle x_1 = rcos \ theta, y_1 = rsin \ theta [/ math] obtenemos la ecuación de tangente en forma paramétrica como:

[matemáticas] \ displaystyle \ boxed {xcos \ theta + ysin \ theta = r} [/ math]

Answer 2

Si la pregunta le pide que encuentre una tangente a un círculo, se debe dar la ecuación del círculo, digamos C: x ^ 2 + y ^ 2 + 2dx + 2ey + f = 0 donde d, e, f son constantes.

Dado que hay infinitas tantas tangentes al círculo, para encontrar una tangente específica se requiere al menos una información adicional dada por la pregunta. Suponga que la pregunta es simple, entonces la pregunta puede dar uno de los siguientes.

1. La tangente requerida para pasar un punto (x1, y1) se encuentra en el círculo.

o 2. La tangente requerida para tener un gradiente dado, digamos m.

o 3. La tangente se dibujó desde un punto externo (x1, y1) al círculo.

Por simplicidad, la solución se presentará sin probar. La prueba se dará en la mitad posterior.

Para el caso 1:

Usa el punto (x1, y1) y la ecuación de C para construir la siguiente ecuación

L1: x1 x + y1 y + d (x + x1) + e (y + y1) + f = 0

Después de simplificado, la ecuación simplificada es la tangente requerida.

Para el caso 2:

Usando el método cuadrado completo para cambiar la ecuación de C a la siguiente forma:

C: (x + d) ^ 2 + (y + e) ​​^ 2 = r ^ 2 donde r ^ 2 = d ^ 2 + e ^ 2 – f

Como eres un estudiante que estudia geometría de coordenadas, debes saber que el centro del círculo C es (-d, -e) y r es el radio.

Como la tangente tiene pendiente m, entonces la ecuación de la tangente debería verse así

L2: mx – y + c = 0 donde c es una constante.

Como la distancia perpendicular desde el centro a L2 es r, tenemos

[m (-d) – (- e) + c] / sqrt (m ^ 2 + 1) = +/- r

Resolviendo la ecuación anterior para c (obtendrá dos valores, uno de + r y el otro de -r). Sustituyendo c nuevamente en L2, obtienes la ecuación requerida de las dos tangentes.

Para el caso 3

Usa el punto (x1, y1) y la ecuación C para construir la siguiente ecuación

L3: x1 x + y1 y + d (x + x1) + e (y + y1) + f = 0

Después de simplificado, la ecuación simplificada es la cuerda de contacto dibujada desde el punto (x1, y1) al círculo C. Resolver algebraicamente para encontrar los dos puntos de intersección de L3 y C. Luego, utilice el método como se indica en el caso anterior, uno encuentre la ecuación tangente de los puntos de intersección correspondientes.

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Lea lo siguiente si desea saber por qué funciona el método anterior.

Para el caso 1:

La pendiente de la línea construida L1 es m1 = – (x1 + d) / (y1 + e)

La pendiente de la línea que une el centro (-d, -e) y el punto (x1, y1) es

m2 = (y1 + e) ​​/ (x1 + d).

Encontramos que (m1) (m2) = -1. Es decir, L1 es una línea que pasa y es perpendicular a la punta del radio. Por lo tanto, L1 es la tangente de C a través (x1, y1)

Para el caso 2:

Usamos el siguiente hecho:

Para una línea dada Ax + By + C = 0, la distancia perpendicular de un punto (x1, y1) a la línea = (Ax1 + By1 + C) / sqrt (A ^ 2 + B ^ 2)

Para el caso 3:

Suponga que (x ‘, y’) y (x “, y”) son los puntos de intersección de L3 y C. Luego, a partir del caso 1, podemos encontrar las tangentes en estos dos puntos de la siguiente manera:

L ‘: x’ x + y ‘y + d (x + x’) + e (y + y ‘) + f = 0 y

L “: x” x + y “y + d (x + x”) + e (y + y “) + f = 0

Como (x ‘, y’) se encuentra en la línea L3, sabemos que (x ‘, y’) debería satisfacer la ecuación de L3, es decir. sustituyendo (x ‘, y’) en L3 obtenemos

x1 x ‘+ y1 y’ + d (x ‘+ x1) + d (x’ + x1) + f = 0 – (1)

Ahora sustituya (x1, y1) en la ecuación de L ‘,

LHS de L ‘= x’ x1 + y ‘y1 + d (x1 + x’) + e (y1 + y ‘) + f

cuando se compara con (1), encontramos que LHS de L ‘= 0, que es el punto (x1, y1) se encuentra en la línea L’.

De manera similar, podemos demostrar que (x1, y1) también se encuentra en la línea L “.

Por lo tanto (x1, y1) se encuentra en ambas líneas tangentes de (x ‘, y’) y (x “, y”). Como L3 pasa por (x ‘, y’) y (x “, y”), L3 es el acorde de contacto como se indicó anteriormente.

Answer 3

Como señaló Jacob, las tangentes a los círculos son perpendiculares a los radios del círculo. Para un punto dado (a, b), el vector de radio es y tiene una “pendiente” b / a. Por lo tanto, la línea tangente tendría una pendiente -a / b (el vector tendría una dirección en ). Como se le da el punto de tangencia, puede usar la forma punto-pendiente:

y – b = -a / b * (x – a)

y = -a / b * (xa) + b

y = -ax / b – a ^ 2 / b + b.

Donde a es la coordenada x del punto de tangencia yb es la coordenada y.

Esta imagen ilustra cómo se vería una línea tangente:

Answer 4

Algunos otros respondedores han dado respuestas convencionales. Pero personalmente, prefiero usar un enfoque paramétrico.

Considere el círculo como la pista tomada por un vehículo alrededor de un recorrido circular.

[matemáticas] \ vec {x} (t) = [r \ cos {(\ omega t)}, r \ sin {(\ omega t)}] [/ matemáticas]

Toma la derivada para obtener el vector de velocidad

[matemáticas] \ vec {v} (t) = \ vec {x ‘} (t) = r \ omega [- \ sin {(\ omega t)}, \ cos {(\ omega t)}] [/ matemáticas ]

Se confirma fácilmente que este vector es perpendicular al vector de posición y, por lo tanto, debe apuntar a lo largo de la línea tangente.

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Para un momento particular [math] t_0 [/ math] la línea tangente es

[matemáticas] \ vec {T} (t_0) (u) = \ vec {x} (t_0) + u \ vec {x ‘} (t_0) = [r \ cos {(\ omega t_0)} – ur \ omega \ sin {(\ omega t_0)}, r \ sin {(\ omega t)} + ur \ omega \ cos {(\ omega t)}] [/ math]

Esto es, en efecto, la trayectoria del vehículo si deja de aplicar combustible en ese momento en particular y se dirige en línea recta.

Answer 5

Una tangente es perpendicular a cualquier línea que atraviese el centro del círculo. Encuentre la ecuación de la línea a través del centro y el punto de tangencia. Recuerde que las líneas perpendiculares tienen pendientes que son recíprocas negativas. Ahora tienes la pendiente y un punto. Use la forma de la pendiente del punto. Su trabajo será encontrar toda esta información de lo que ha dado.

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Answer 6

Dirígete a este enlace para obtener explicaciones detalladas sobre las tangentes a un círculo.

Lecciones circulares – DoubleRoot.in (Lección 15 en adelante)