¿Todas las líneas en un plano que no se cruzan son paralelas?

Answer 1

La respuesta es, ¡depende!

En la geometría euclidiana estándar, es decir, geometría de “curvatura cero”, la respuesta es sí.

En algunas geometrías (específicamente de curvatura positiva), todas las líneas se cruzan y no hay líneas paralelas; la pregunta es discutible.

Pero en algunas geometrías (específicamente de curvatura negativa), ahí es donde las cosas se ponen interesantes. Resulta que podemos definir “paralelo” de dos maneras realmente diferentes:

1. dos líneas coplanares son paralelas si no se cruzan; o
2. dos líneas coplanares son paralelas si se cruzan en el infinito.

Obviamente, según la definición 1, la respuesta a su pregunta es “sí”, por definición. Pero según la definición 2, es posible tener líneas que nunca se cruzan, incluso en el infinito; tales líneas no se intersecan ni son paralelas.

(Por supuesto, no he explicado lo que significa que las líneas “se crucen en el infinito”; consulte el modelo de disco de Poincaré para obtener algunas sugerencias).

Answer 2

¡Si! Si consideramos todo el espacio 3D, hay otra opción. Las líneas pueden estar sesgadas. Coloque un lápiz a unos pies de usted. Coloque otro más a cierta distancia, pero en posición vertical. Puedes ver que no se cruzan sin importar cuánto los extiendas, pero su dirección definitivamente no es la misma. Estas se llaman líneas oblicuas.

Sin embargo, cuando se trata de aviones, simplemente no hay posibilidad de esto. No sé exactamente cómo probar esto, pero imagínense un avión frente a ustedes y piensen en algunas líneas. Se intersectarán o serán paralelas. No hay una tercera opción.

Answer 3

Ese es uno de los axiomas de Euclide, lo que significa que no necesita probarlo, ya que toda la geometría euclidiana se construye a partir del conjunto de 5 axiomas. Básicamente, lo que quiero decir es que la prueba es inútil ya que la geometría euclidiana es consistente: todas las propiedades deducidas de los axiomas no conducirán a resultados contradictorios, por lo tanto, dar una prueba de que las líneas que no se cruzan son paralelas es similar a decir: “para probar A, supongo UNA”.

Por favor, eche un vistazo al teorema de incompletitud de Godel. La geometría euclidiana es uno de los famosos ejemplos de sistemas matemáticos consistentes (pero incompletos).

Answer 4

Bueno, sí. No estoy seguro de lo valiosa que es esta prueba, pero en Euclidean Geometry, define líneas paralelas de la siguiente manera:

Decimos que [matemáticas] AB \ paralelo CD \ iff \ angle {FEB} = \ angle {EFC} [/ math].

Ahora, suponemos lo contrario: que [matemáticas] AB [/ matemáticas] y [matemáticas] CD [/ matemáticas] se encuentran, por ejemplo, en un punto [matemáticas] P [/ matemáticas] a la derecha de [matemáticas] GH [/ matemática] (para mayor precisión; siempre se puede suponer que [matemática] P [/ matemática] está a la izquierda de [matemática] GH [/ matemática]). Luego, en [math] \ bigtriangleup {EFP} [/ math], [math] \ angle {P} = 0 ^ o [/ math]. Lo que implicaría que [math] AB [/ math] y [math] CD [/ math] coinciden (lo cual, por supuesto, no es cierto). Por lo tanto, [math] AB [/ math] y [math] CD [/ math] no se pueden encontrar.

Sin embargo, esta es solo la mitad de la prueba, donde demostramos que las líneas paralelas no se pueden encontrar. Para probar que las líneas que no se encuentran son paralelas, considere el siguiente diagrama:

Si [math] AB [/ math] y [math] CD [/ math] no se encuentran, entonces debe ser cierto que [math] EF = GH [/ math]. Además, [math] EF \ paralela GH [/ math] por construcción, lo que significa que [math] \ angle {FEG} = \ angle {EGH} [/ math]. Por lo tanto, [matemáticas] \ bigtriangleup {EFG} \ cong \ bigtriangleup {EHG} \ implica \ angle {HEG} = \ angle {EGF} \ implica AB \ CD paralela [/ math].

Answer 5

Sí, por definición, todas las líneas en un plano son infinitamente largas. Como tal, podrían cruzarse o ser paralelas. No hay otra posibilidad.

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Esto me recuerda a mi yo de 13 años. 🙂 Solía ​​dudar de mí mismo. Seguí insistiéndole a mi maestro que podía demostrarle que estaba equivocado. Y mi “prueba” era que dos líneas formaban un ángulo entre sí (como esta \ /), y argumentaba que si seguía extendiendo las líneas hacia arriba, nunca se cruzarían, aunque claramente NO eran paralelas entre sí . ¡Por supuesto, la única falla en mi “prueba” era que las líneas debían “crecer” en ambos sentidos!