Si desea saber cómo configurar 4 planos que se cruzan en el mismo punto, puede usar la siguiente fórmula que usa una combinación lineal de 3 vectores:
[matemáticas] p_1 = \ vec {o} + \ lambda_1 \ vec {v_1} + \ lambda_2 \ vec {v_5} \\ [/ matemáticas]
[matemáticas] p_2 = \ vec {o} + \ lambda_1 \ vec {v_2} + \ lambda_2 \ vec {v_6} \\ [/ matemáticas]
[matemáticas] p_3 = \ vec {o} + \ lambda_1 \ vec {v_3} + \ lambda_2 \ vec {v_7} \\ [/ matemáticas]
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[matemáticas] p_4 = \ vec {o} + \ lambda_1 \ vec {v_4} + \ lambda_2 \ vec {v_8} [/ matemáticas]
La condición es que los vectores [math] \ vec {v_1} [/ math] a [math] \ vec {v_4} [/ math] y los vectores [math] \ vec {v_5} [/ math] a [math] \ vec {v_8} [/ math] no son paralelos y sus productos cruzados no resultan en vectores paralelos. Si configura los 4 planos de esta manera, se garantiza que tendrá un punto de intersección común porque el origen es el mismo en todos los casos, y este punto de intersección estará [math] \ vec {o} [/ math] fuera de curso.
Un método algo más fácil es usar la forma normal de un plano (Plano – de Wolfram MathWorld) donde solo especifica un origen normal y un origen, pero nuevamente es el mismo concepto, elige 4 vectores no paralelos y el mismo origen en cada uno fórmula:
[matemáticas] \ vec {n_1} \ cdot (\ vec {x} – \ vec {o}) = 0 \\ [/ matemáticas]
[matemáticas] \ vec {n_2} \ cdot (\ vec {x} – \ vec {o}) = 0 \\ [/ matemáticas]
[matemáticas] \ vec {n_3} \ cdot (\ vec {x} – \ vec {o}) = 0 \\ [/ matemáticas]
[matemáticas] \ vec {n_4} \ cdot (\ vec {x} – \ vec {o}) = 0 \\ [/ matemáticas]
Donde [math] \ vec {x} [/ math] es ahora un punto variable (x, y, z). La condición aquí es que [math] \ vec {n_1} \; [/ math] [math] [/ math] to [math] \ vec {n_4} [/ math] no son paralelos entre sí. Nuevamente, el punto de intersección será [math] \ vec {o} [/ math].
Si desea averiguar si 4 planos realmente se cruzan, puede escribir las 4 ecuaciones en forma de matriz y calcular el determinante. Si el determinante no es cero, puede tomar cualquier combinación de 3 planos y calcular la intersección.