Cómo calcular el volumen de una esfera de 4 dimensiones

Answer 1

Vea ¿Cómo calcula el volumen de una esfera dimensional [matemática] n [/ matemática]? para ver cómo configurar una integral que le da al volumen una esfera de 3 radios [math] r [/ math]. Sus

[matemáticas] \ displaystyle \ int _ {- r} ^ r \ tfrac43 \ pi (r ^ 2-x ^ 2) ^ {3/2} \, dx [/ math]

El método también funciona para las de dimensiones superiores. La evaluación de esas integrales da la siguiente tabla. ([matemática] S ^ 1 [/ matemática] es el círculo, [matemática] S ^ 2 [/ matemática] la esfera ordinaria, etc.)

[matemáticas] \ begin {array} {cc} \ mbox {Sphere} & \ mbox {Volume} \\ S ^ 1 & \ pi r ^ 2 \\ S ^ 2 & \ frac43 \ pi r ^ 3 \\ S ^ 3 & \ frac12 \ pi ^ 2 r ^ 4 \\ S ^ 4 & \ frac8 {15} \ pi ^ 2 r ^ 5 \\ S ^ 5 & \ frac16 \ pi ^ 3 r ^ 6 \\ S ^ 6 & \ frac {16} { 105} \ pi ^ 3 r ^ 7 \\ S ^ 7 & \ frac1 {24} \ pi ^ 4 r ^ 8 \\ S ^ 8 & \ frac {32} {945} \ pi ^ 4 r ^ 9 \ end {array }[/matemáticas]

Answer 2

De acuerdo con la definición de unidades de la escala de deformación, el volumen de una esfera de diámetro unitario es 1 c ^ n, ya que es el producto de deformación de las diagonales ortogonales.

¡La conversión de unidades crind en unidades de esfera es n! Cn = (\ pi / 2) ^ (n // 2) Pn.

Cn es el tamaño de la unidad de crind; Pn = tamaño de una unidad de prisma; ambos en N dimensiones

¡¡norte!! es el producto (n) (n-2) (n-4) … (1 o 2). n // 2 = n DIV 2.

Entonces tenemos cuatro dimensiones 4 * 2 Cn = pi ^ 2/4 Pn, o 1 Cn = pi ^ 2/32 Pn. D ^ n

Es una práctica normal en matemáticas, en deferencia con el mundo real, usar radios, entonces ponemos D = 2R, y obtenemos pi ^ 2/2 R ^ n.

Answer 3

Esto se puede hacer con los métodos de cálculo básico, aunque algunos conocimientos de cálculo multivariante lo hacen mucho más fácil.

Considero el rango de puntos en el plano wz que están en la esfera y tomo el área de los puntos dentro de la esfera en el plano xy y multiplico eso por el área wz.

Entonces la integral es esta:

[matemáticas] \ int_ {0} ^ {2 \ pi} \ int_ {0} ^ {R} \ pi (\ sqrt {R ^ 2-r ^ 2}) ^ 2rdrd \ theta [/ math]

[matemática] = \ int_ {0} ^ {2 \ pi} \ int_ {0} ^ {R} \ pi (R ^ 2-r ^ 2) rdrd \ theta [/ math]

[matemática] = \ int_ {0} ^ {2 \ pi} \ int_ {0} ^ {R} \ pi (R ^ 2r-r ^ 3) drd \ theta [/ math]

[matemáticas] = \ int_ {0} ^ {2 \ pi} \ pi (\ frac {R ^ 4} {2} – \ frac {R ^ 4} {4}) d \ theta [/ math]

[matemáticas] = \ int_ {0} ^ {2 \ pi} \ pi \ frac {R ^ 4} {4} d \ theta [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2 \ pi \ pi \ frac {R ^ 4} {4} [/ matemáticas]

[matemáticas] = [redactado] [/ matemáticas]

\ o /!

Esto es significativamente más simple que cualquier método de sustitución trigonométrica con una integral directa.

Answer 4

Podemos extrapolar. En 3D, tenemos la fórmula para el volumen de una esfera x [matemáticas] ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = a ^ 2 [/ matemáticas] dada por

[matemáticas] \ displaystyle \ int _ {- a} ^ a \ int _ {- \ sqrt {a ^ 2 – z ^ 2}} ^ {- \ sqrt {a ^ 2 – z ^ 2}} \ int _ {- \ sqrt {a ^ 2 – y ^ 2 -z ^ 2}} ^ {\ sqrt {a ^ 2 – y ^ 2 -z ^ 2}} \ mathrm {d} x. \ mathrm {d} y. \ mathrm {d } z [/ matemáticas]

En 4D, para la esfera [matemáticas] w ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = a ^ 2 [/ matemáticas] esto se convierte en,

[matemáticas] \ displaystyle \ int _ {- a} ^ a \ int _ {- \ sqrt {a ^ 2 – z ^ 2}} ^ {- \ sqrt {a ^ 2 – z ^ 2}} \ int _ {- \ sqrt {a ^ 2 -y ^ 2 – z ^ 2}} ^ {- \ sqrt {a ^ 2 – y ^ 2 – z ^ 2}} \ int _ {- \ sqrt {a ^ 2 -x ^ 2 – y ^ 2 -z ^ 2}} ^ {\ sqrt {a ^ 2 – x ^ 2 – y ^ 2 -z ^ 2}} \ mathrm {d} w. \ Mathrm {d} x. \ Mathrm {d} y. \ mathrm {d} z [/ math]

Supongo que esto se puede evaluar, pero tengo miedo de intentarlo 😉

Answer 5

gracias por A2A pero simplemente iría con la respuesta de David Vanderschel a ¿Cómo calculo el volumen de una esfera de 4 dimensiones? abajo. La genialidad de Wikipedia ataca de nuevo.