¿Por qué Euclides no hizo su quinto postulado: los ángulos correspondientes con respecto a las líneas paralelas son iguales?

Answer 1

Euclides no quería decir nada como “Dado: dos líneas paralelas” en cualquier lugar de su quinto postulado. Eso es porque no pudo mostrar su construcción. No fue hasta el Libro I, Proposición 27, que pudo construir líneas paralelas.

Lo diría así:

My5th : Si una línea recta que cae sobre dos líneas rectas hace que un par de ángulos correspondientes sean desiguales, entonces las dos líneas rectas no son paralelas.

Puedo usar My5th para probar la versión de Euclides del quinto postulado. Para hacerlo, agregaré dos proposiciones:

Proposición A (agregada, no usa 5ta)

Si una línea recta que cae sobre dos líneas rectas hace que la suma de los ángulos interiores en el mismo lado sea menor que dos ángulos rectos, entonces la suma de los ángulos interiores en el lado opuesto será mayor que dos ángulos rectos.

Proposición B (agregada, no usa la quinta)

Si una línea recta que cae sobre dos líneas rectas hace que los ángulos interiores en el mismo lado sean menos de dos ángulos rectos, las dos líneas rectas no se encontrarán en el lado opuesto.

Para probar la Proposición A, puede usar el hecho de que los ángulos adyacentes en una línea recta son suplementarios. Para probar la Proposición B, puede usar el teorema del ángulo exterior, Libro I, Proposición 16.

El quinto postulado original de Euclides puede ser etiquetado como Proposición C. Puede usar la Proposición A, la Proposición B y My5th para probarlo.

Proposición C (era la quinta de Euclides)

Si una línea recta que cae sobre dos líneas rectas hace que los ángulos interiores en el mismo lado sean menos de dos ángulos rectos, las dos líneas rectas, si se producen indefinidamente, se encuentran en ese lado en el que están los ángulos menos que los dos ángulos rectos.

Answer 2

Tienes razón, solo se puede adivinar. Su postulado establece que si los ángulos interiores del mismo lado suman menos de 180 grados, las líneas, si se producen indefinidamente, se encontrarán en ese lado. Eso no parece atraer tanto a la intuición. Si le pide a un niño pequeño que no tiene experiencia con líneas paralelas que haga una observación, probablemente dirá que “esos” ángulos son iguales. El niño se referiría a los ángulos correspondientes. Afirmar que los ángulos correspondientes son iguales parece atraer más a la intuición.

Answer 3

“¿Por qué Euclides no hizo su quinto postulado: los ángulos correspondientes con respecto a las líneas paralelas son iguales?”

No sé, deberías preguntarle a Euclides al respecto. Puedo adivinar por qué: los postulados deben ser “obvios” de alguna manera. Su redacción suena como un postulado y parece obvio. No es obvio cuando se utilizan “ángulos correspondientes”. Son posibles muchas otras palabras, [[Postulado paralelo]] pero todas son equivalentes de alguna manera.