Hay varias formas de resolver esto, pero utilizaré el método de “arandelas”.
El sólido producido al rotar esta región alrededor de la línea [matemática] y = 7 [/ matemática], cuando se corta perpendicular al eje x, tiene secciones transversales que parecen “arandelas”, o círculos con un círculo cortado en el medio . Para encontrar el volumen del sólido, un enfoque que podemos usar es expresar el área de una de estas secciones transversales en términos de [matemática] x [/ matemática], y luego integrar esta función desde [matemática] x = -1 [ / math] a [math] x = 1 [/ math], ya que estos son los puntos finales de la región que estamos rotando. Entonces, esencialmente lo que estamos haciendo es sumar las áreas de las arandelas orientadas verticalmente al encontrar el área de una arandela en términos de [matemática] x [/ matemática] e integrar esta función de -1 a 1. Esto nos dará el volumen del sólido. Suficiente explicación; vamos a las matemáticas 🙂
Para encontrar el área de una sección transversal de la lavadora, encontraremos el área del círculo exterior y restaremos el área del círculo interior. Dado que el eje de rotación está por encima de la región que estamos rotando, el círculo interno será el de la función [matemáticas] y = 1 [/ matemáticas] y el círculo externo será el de la función [matemáticas] y = x ^ 2 [/ math] porque [math] 1 \ geq x ^ 2 [/ math] para [math] -1 \ leq x \ leq 1 [/ math].
El radio del círculo interno es el valor y del eje de rotación menos el valor y de la función, ya que las secciones transversales son verticales. Entonces, el radio del círculo interno es [matemática] 7-1 = 6 [/ matemática] y el área de este círculo es [matemática] 36π [/ matemática].
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El radio del círculo exterior es igual a 7 menos el valor y (en términos de x) de la función [matemática] y = x ^ 2 [/ matemática] porque esta es la distancia desde el eje de rotación hasta el borde de el círculo. Por lo tanto, el radio es [matemática] 7-x ^ 2 [/ matemática] y el área del círculo es [matemática] π (7-x ^ 2) ^ 2 [/ matemática].
Entonces, el área de una sección transversal de la lavadora es el área del círculo grande menos el área del círculo pequeño. Como ya hemos determinado que estamos integrando esta función de área de [matemáticas] x = -1 [/ matemáticas] a [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas], tenemos
[matemáticas] \ int _ {- 1} ^ {1} (π (7-x ^ 2) ^ 2 – 36π \ dx [/ matemáticas]
Desde este punto, solo es cuestión de resolver esta integral. Así es como lo hice si no puede resolver esto (lo simplifiqué un poco al principio):
Es [matemática] \ frac {256π} {15} [/ matemática] [matemática] [/ matemática] por cierto 😉