¿Se determina un triángulo únicamente conociendo 2 lados y 1 ángulo no incluido?

Sí, puede determinar el resto del triángulo utilizando la Regla de seno y la regla de suma de ángulos. Esta es una geometría plana bastante básica y recuerdo haberla aprendido temprano (como el primer año) en la escuela secundaria.

El siguiente sitio web ofrece un resumen sencillo y agradable del proceso:

Resolviendo Triángulos SSA

Hay cinco formas diferentes de determinar triángulos congruentes (o identificar de forma exclusiva un triángulo):

(En cada caso, S significa que conocemos la longitud del lado, A significa que conocemos el ángulo)

  • SSA como arriba
  • SSS – los tres lados
  • SAS – lateral, ángulo incluido, lateral
  • ASA – ángulo, lado incluido, ángulo
  • AAS – ángulo, ángulo, lado

y para triángulos rectángulos:

  • HL – Hipotenusa, pierna. Esa es la longitud del lado más largo y del otro. Como sabes que un ángulo es un ángulo recto y no es el incluido, es equivalente a SSA.

Se pueden usar otras agrupaciones para determinar similares (es decir, los mismos ángulos pero no necesariamente las mismas longitudes de lado), por ejemplo, AAA para todos los triángulos.

Todo esto es cierto en el plano, ¡otras geometrías varían!

En realidad, conocer 2 lados y 1 ángulo no incluido NO determina únicamente un triángulo. Pero está cerca. Solo dos triángulos diferentes pueden hacer esto.

Considera esta imagen:

Esto muestra dos triángulos con los lados 8 y 13 con un ángulo no incluido de 31 grados.

Bajo ciertas condiciones puede haber solo un triángulo (digamos si el triángulo es un triángulo rectángulo), pero en general hay dos.

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Tenga en cuenta que si un triángulo tiene dos lados dados y el ángulo incluido, entonces este triángulo es único.

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También tenga en cuenta que es posible que ni siquiera sea posible tener un solo triángulo que haya dado 2 lados y un ángulo no incluido. Por ejemplo, si dos lados tienen la longitud 1 y el ángulo no incluido es de 90 grados, ningún triángulo puede tener esto. Esto se debe a que una pata debe ser de longitud 1 y la hipotenusa debe ser de longitud 1. Pero en cualquier triángulo rectángulo la hipotenusa es mayor que cualquier lado.

Puede obtener cero, una o dos posibles soluciones. Para resolver esto, dibuje gráficamente el lado con longitud y ángulo conocidos en un extremo. Marque el ángulo y dibuje un círculo con la longitud dada del otro lado.

Ahora la línea y el círculo pueden cruzarse en dos puntos como en la imagen. También es posible que se cruce en un solo punto (formando un triángulo rectángulo) o que no tenga ningún punto, si el ángulo es un poco más grande.

Para encontrar la solución matemáticamente, puedes usar la regla del coseno.

[matemáticas] a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 – 2 bc \ cos (A) [/ matemáticas]

Conocemos la longitud a, yc y el ángulo A. Esto da un cuadrado en b, la longitud desconocida

[matemáticas] b ^ 2 – (2 c \ cos (A)) b + (c ^ 2 – a ^ 2) = 0 [/ matemáticas]

Como todas las cuadráticas, esto puede tener 0, 1 o 2 soluciones dependiendo del discriminante.

[matemáticas] \ delta = 4 c ^ 2 \ cos ^ 2 (A) – 4b ^ 2 (c ^ 2-a ^ 2) ^ 2 [/ matemáticas].

Alternativamente, podemos usar la regla seno.

[matemáticas] \ frac {\ sin (A)} {a} = \ frac {\ sin {C}} {c} [/ matemáticas]

Entonces

[matemáticas] \ sin (C) = \ frac {c \ sin (A)} {a} [/ matemáticas]

esto puede tener una solución γ entre 0 y 90º y otra 180º – γ, entre 90º y 180º.