Gracias por el A2A. Daré una respuesta lo más completa posible.
1) Si [matemática] a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 [/ matemática] y [matemática] h [/ matemática] es la longitud de la altitud a la hipotenusa, entonces el área del triángulo está dada por ambos [ matemáticas] \ frac {ab} 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] \ frac {ch} 2 [/ matemáticas]. Al igualarlos y resolver la altitud se obtiene: [matemáticas] h = \ frac {ab} c [/ matemáticas]. Si las tres [matemáticas] a, b, c [/ matemáticas] son enteros positivos, la altitud debe ser racional. Un conjunto de tres enteros positivos que forman los lados de un triángulo rectángulo se denominan triples pitagóricos.
2) Puedes ver fácilmente que hay infinitos triples tomando un entero impar arbitrario mayor o igual a tres y generando un triple con eso como el lado más corto. Así es cómo:
Deje [math] a = 2k + 1 [/ math] para algún número natural [math] k [/ math] para que [math] a ^ 2 = 4k ^ 2 + 4k + 1. [/ Math] Como una pierna de un triángulo rectángulo, tenemos [matemáticas] a ^ 2 = c ^ 2-b ^ 2 = (cb) (c + b) [/ matemáticas]. Podemos elegir [matemáticas] b + 1 = c [/ matemáticas] para obtener [matemáticas] a ^ 2 = (b + 1-b) (b + 1 + b) = 2b + 1 [/ matemáticas]. Entonces podemos resolver [math] b [/ math] en términos de [math] k [/ math] para obtener [math] b = 2k ^ 2 + 2k [/ math]. Entonces, vemos que el siguiente conjunto forma un triple pitagórico: [matemáticas] 2k + 1, \ 2k ^ 2 + 2k, \ 2k ^ 2 + 2k + 1 [/ matemáticas] para cada número natural [matemáticas] k [/ matemáticas] . Por lo tanto, hay infinitos conjuntos de triples pitagóricos, y cada uno tiene una altitud a la hipotenusa con una longitud racional. (Por ejemplo, [matemáticas] k = 1 [/ matemáticas] nos da las [matemáticas] 3, \ 4, \ 5 [/ matemáticas] mientras que [matemáticas] k = 3 [/ matemáticas] nos da las [matemáticas] 7, \ 24, \ 25 [/ matemáticas].)
- Si se detonase un arma nuclear equivalente a Hiroshima dentro de una esfera de hierro de 5 kilómetros cúbicos de volumen, ¿la esfera explotaría o simplemente se derretiría?
- ¿Cuántas tangentes se pueden dibujar a las dos ramas de una hipérbola desde un punto?
- ¿Se determina un triángulo únicamente conociendo 2 lados y 1 ángulo no incluido?
- Una hoja de papel cuadrada ABCD está tan doblada que B cae en el punto medio M del CD. ¿El pliegue dividirá BC en qué proporción?
- ¿No debería decidirse la simultaneidad de dos o tres eventos (no colineales) desde su punto medio o circuncentro en el espacio?
3) Para que un racional tenga una expansión decimal final, debe poder escribirse como [math] h = \ frac {m} {10 ^ k} [/ math] para algún número entero, [math] m [/ math ], y algunos enteros naturales no negativos, [math] k [/ math]. (El numerador y el denominador no necesitan ser relativamente primos). Eso significa que la hipotenusa, [matemática] c [/ matemática], solo puede tener 2 y 5 como factores primos si queremos que la altitud de la hipotenusa tenga una representación decimal final. .
4) Dado que podemos multiplicar cualquier triple pitagórico por un número natural para producir uno nuevo, obviamente hay infinitos triples con su propiedad deseada, ya que podemos tomar [matemáticas] 3, \ 4, \ 5 [/ matemáticas] y multiplicar todos los lados por cualquier número natural cuyos factores primos sean solo 2 y 5. Por ejemplo, [matemáticas] 60, \ 80, \ 100 [/ matemáticas] obviamente funciona.
5) Un triple pitagórico se llama primitivo si el máximo común divisor de sus tres lados es uno. Entonces, aunque podemos encontrar fácilmente infinitos triples como los descritos en (4), ninguno formado de esta manera es primitivo. Entonces, ¿es cierto que [matemáticas] 3,4,5 [/ matemáticas] es el único triple primitivo con esta propiedad? Una vez más, resulta que la respuesta es no. Aquí hay algunos más: [matemáticas] 7, \ 24, \ 25 [/ matemáticas] y [matemáticas] 44, \ 117, \ 125 [/ matemáticas] y [matemáticas] 527, 336, 625 [/ matemáticas] y [ matemáticas] 237, \ 3116, \ 3125 [/ matemáticas].
5) ¿Puede cada número cuyos factores primos son solo 2 y 5 ser la hipotenusa de un triple primitivo? La respuesta es nuevamente no. Es fácil demostrar que la hipotenusa de cualquier triple debe ser extraña. Eso excluye cualquier valor par, dejando solo potencias de 5 como posibilidades. “¿Por qué solo deben ser extraños?” usted puede preguntar
Suponga que [math] c [/ math] es par (por lo que [math] c ^ 2 [/ math] también debe ser par). Entonces, ambas patas deben ser impares o ambas deben ser pares, ya que la suma de un par de números pares es par, al igual que la suma de un par de números impares, pero la suma de pares e impares debe ser impar. Pero ambas piernas no pueden ser iguales porque entonces los tres lados estarían incluso dejando que el máximo divisor común de las tres longitudes sea al menos dos (lo que significa que no puede ser un triple primitivo). Por lo tanto, nos queda una sola posibilidad. Ambas partes son extrañas.
En este caso, podemos escribir los lados como [matemática] a = 2m + 1 [/ matemática] y [matemática] b = 2n + 1 [/ matemática] para algunos números naturales [matemática] m, n [/ matemática]. Entonces [matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 = 4m ^ 2 + 4m + 4n ^ 2 + 4n + 2 [/ matemáticas]. Tenga en cuenta que cuando esta suma se divide por dos, el resultado es [matemática] 2m ^ 2 + 2m + 2n ^ 2 + 2n + 1 [/ matemática] que es impar (ya que es la suma de cuatro términos pares y un término impar) ) Pero eso significa que [matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 [/ matemáticas] tiene [matemáticas] 2 [/ matemáticas] como factor solo una vez. Pero si [math] c [/ math] es par, entonces [math] c ^ 2 [/ math] tiene dos como factor al menos dos veces. Entonces podemos concluir que la hipotenusa no puede ser ni siquiera en ningún triple pitagórico primitivo.
6) Ahora hemos demostrado que los únicos triples primitivos posibles que pueden tener una expansión decimal final para la altitud a la hipotenusa son aquellos cuya hipotenusa es una potencia de 5. Hemos visto en (5) que 5, 25, 125, 625 , y 3125 existen como la hipotenusa en un triple primitivo. Es natural preguntarse si CADA potencia de cinco es o no la hipotenusa de uno o más triples primitivos.
Resulta que cada potencia de 5 es la hipotenusa de exactamente un triple primitivo. La prueba de esta afirmación es demasiado para incluir en mi respuesta, pero este enlace entra en detalles: Triples pitagóricos.