¿Es siempre cierto que el área de un triángulo rectángulo con longitudes de lado entero es divisible por 3?

Answer 1

Seguro. Aquí hay una prueba rápida y elemental que no utiliza la fórmula para los trillizos pitagóricos.

Mira la secuencia de cuadrados mod 3, que significa la secuencia de residuos que obtienes cuando divides los cuadrados entre 3:

Cuadrados: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, …

Restos: 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, …

Es evidente que falta el residuo 2. ¿Por qué falta? Bueno, simplemente porque [matemática] 0 ^ 2 = 0 [/ matemática], [matemática] 1 ^ 2 = 1 [/ matemática] y [matemática] 2 ^ 2 = 4 [/ matemática] que deja un resto de 1 en la división por 3. Esto es todo lo que necesita verificar, ya que cada número es el mismo que uno de estos números cuando ignoramos los múltiplos de 3 (trabajamos “módulo 3”).

Ahora, suponga que [matemática] a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 [/ matemática] donde [matemática] a, b, c [/ matemática] son ​​enteros. Si tanto [math] a [/ math] como [math] b [/ math] no son divisibles por 3, entonces [math] a ^ 2 [/ math] y [math] b ^ 2 [/ math] ambos dejan un resto de 1 módulo 3, y su suma deja un resto de 2. Pero entonces [matemática] c ^ 2 [/ matemática] necesitaría ser 2 módulo 3 que, como acabamos de ver, es imposible.

Entonces, al menos una de las patas del triángulo es divisible por 3. Esto hace que el área [matemática] S = ab / 2 [/ matemática] también sea divisible por 3, siempre que sea un número entero. ¿Por qué es un número entero? Porque [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] no pueden ser impares, y la prueba de eso es exactamente la misma, solo mirando los residuos módulo 4 en lugar de módulo 3. QED

Answer 2

Considere un número entero n.

Si n mod3 = 0, n ^ 2mod3 = 0.

Si n mod 3 = 1, n ^ 2mod3 = 1 ^ 2 = 1.

Si n mod 3 = 2, n ^ 2mod3 = 2 ^ 2mod3
= 4mod3 = 1.

Entonces, por cada entero n,
n ^ 2mod3 = 0 o 1.

Ahora, supongamos que a, b & c son las longitudes enteras de los lados de un triángulo rectángulo donde hipotenusa = c.

Por el teorema de Pitágoras,
a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2.

Si a mod3 o b mod3 = 0 o
a mod3 = b mod3 = 0,
área mod3 = ab / 2 mod3 = 0.

Si a ^ 2mod3 = b ^ 2mod3 = 1,
c ^ 2mod3 = 1 + 1 = 2 que es IMPOSIBLE .

Al estudiar todos estos casos, podemos concluir que una afirmación dada es verdadera.

Answer 3

Todos los triples pitagóricos primitivos se pueden generar utilizando la fórmula de Euclides:

[matemáticas] a = m ^ 2 – n ^ 2, b = 2mn, c = m ^ 2 + n ^ 2 [/ matemáticas]

Ahora, [matemáticas] ab / 2 = m ^ 3n – mn ^ 3 [/ matemáticas]

Pero, módulo 3, [matemática] m ^ 3 = m [/ matemática] y [matemática] n ^ 3 = n [/ matemática], por lo que esta fórmula siempre es congruente con 0 módulo 3 (es decir, el área es divisible por 3.)

Answer 4

En general, no es cierto. Por ejemplo, si toma un triángulo ABC en el que AB = 1, BC = 2 y CA = √5, entonces (AB) ^ 2 + (BC) ^ 2 = (CA) ^ 2.
Observa que el triángulo ABC está en ángulo recto con B pero su área es igual a (1/2) * 1 * 2 = 1 no divisible por 3.

Answer 5

Divisible por 6, de hecho. No solo eso, sino que el producto de todos los lados es divisible por 60.

Y aquí hay algunas palabras más sin sentido para alimentar al bot de conteo de palabras de Quora.

Answer 6

gracias por A2A

SÍ , es verdad

// también verifica si es divisible por 4