Si te entendí, hay un rectángulo de [matemáticas] a \ veces b [/ matemáticas] (por ejemplo) fichas azules rodeadas por una sola fila de fichas rojas. Si tuviera que dibujar esto, vería que la cantidad de mosaicos de borde rojo sería
[matemáticas] = 2 (a + 2) + 2b [/ matemáticas]
[matemáticas] = 2 (a + b + 2) [/ matemáticas]
Dado que el número de fichas rojas = número de fichas azules
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[matemáticas] 2 (a + b + 2) = ab [/ matemáticas]
En este punto me quedé estancado, ya que hay dos variables pero solo una ecuación. Necesitas dos ecuaciones para resolver dos variables. Así que en su lugar traté de encontrar los límites de esta ecuación. Simplificando wrt a [math] b [/ math] (también puede elegir [math] a [/ math])
[matemáticas] 2a + 4 = ab -2b [/ matemáticas]
[matemáticas] => b = (2a + 4) / (a-2) [/ matemáticas]
Si [math] a \ leqslant 2 [/ math], [math] b [/ math] es negativo o no está definido. Para algo más grande que [math] a = 2 [/ math], simplifiquemos aún más la ecuación:
[matemáticas] => b = (2a-4 + 8) / (a-2) [/ matemáticas]
[matemáticas] => b = 2 (a-2) / (a-2) + 8 / (a-2) [/ matemáticas]
[matemáticas] => b = 2 + 8 / (a-2) [/ matemáticas]
Ahora podemos ver que como [matemática] a [/ matemática] varía de [matemática] 3 [/ matemática] a [matemática] \ infty [/ matemática], [matemática] b [/ matemática] variaría de [matemática] 10 [/ matemáticas] a [matemáticas] 2 [/ matemáticas].
Entonces, si solo sustituye los valores de [math] b [/ math] de [math] 10 [/ math] a [math] 2 [/ math], los valores enteros correspondientes de [math] a [/ math] son los únicos soluciones Como [math] a [/ math] y [math] b [/ math] son intercambiables en la ecuación anterior, obtienes cuatro conjuntos de soluciones:
[matemáticas] (a, b) = (3,10), (4,6), (6,4), (10,3) [/ matemáticas]
Por lo tanto, el número de fichas (rojo o azul) = 24, 30
Por lo tanto, el número total de fichas (rojo + azul) = 48, 60
PD: Nunca he hecho nada más que matemáticas de secundaria, así que quizás haya una forma más elegante de resolver esto. Jugué haciendo [math] a = b [/ math], pero no puedo explicar la relevancia de este resultado ([math] a = 2 + 2 \ sqrt {2} = 4.828… [/ math]) para acercarme la solución.