Necesitamos encontrar dos incógnitas en términos de las otras variables conocidas. Por lo tanto, debemos esforzarnos para formar de alguna manera dos ecuaciones y resolverlas para obtener las dos incógnitas.
He modificado un poco la figura para agregar líneas y puntos con nombre. Los tres centros se unen para formar un triángulo ABC con el centro del círculo más pequeño en el centro llamado O.
Observe cómo OD es la tangente común a los dos círculos, R1 y R2, y la línea que une A y B es la normal común. Dado que la tangente común y la normal son perpendiculares entre sí, por lo tanto, OD es perpendicular a AB . Del mismo modo, OE y OF también son perpendiculares a AC y BC, respectivamente.
- Dado un cuadrilátero convexo [matemático] ABCD [/ matemático] con [matemático] BC = DC [/ matemático] y ángulo [matemático] ADC [/ matemático] = ángulo [matemático] ACB [/ matemático], ¿hay algo que podamos inferir? acerca de [matemáticas] ABCD [/ matemáticas]?
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También podemos calcular las coordenadas de los puntos D , E y F en términos de nuestras variables conocidas. D divide la línea AB en la relación R1: R2 . Entonces las coordenadas de D son:
[matemáticas] x_D = (x_1 * R2 + x_2 * R1) / (R1 + R2), y_D = (y_1 * R2 + y_2 * R1) / (R1 + R2) [/ matemáticas]
Del mismo modo, las coordenadas de los puntos E y F se pueden encontrar fácilmente de la siguiente manera:
[matemáticas] x_E = (x_1 * R3 + x_3 * R1) / (R1 + R3), y_E = (y_1 * R3 + y_3 * R1) / (R1 + R3) [/ matemáticas]
[matemáticas] x_F = (x_3 * R2 + x_2 * R3) / (R3 + R2), y_F = (y_3 * R2 + y_2 * R3) / (R3 + R2) [/ matemáticas]
Tenemos todo lo que necesitamos ahora para llegar a nuestra respuesta.
Considere el triángulo rectángulo AOD .
Por el teorema de Pitágoras:
[matemáticas] OA ^ 2 = AD ^ 2 + OD ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] (R1 + R4) ^ 2 = R1 ^ 2 + (x_4 – x_D) ^ 2 + (y_4 – y_D) ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] x_4 ^ 2 + y_4 ^ 2 – 2 * x_4 * x_D – 2 * y_4 * y_D = R4 ^ 2 + 2 * R1 * R4 – x_D ^ 2 – y_D ^ 2 [/ matemáticas]
Esta es una ecuación en x4 e y4 que involucra sus términos cuadráticos y lineales.
Considere el triángulo rectángulo AOE y aplique el teorema de Pitágoras nuevamente para obtener:
[matemáticas] OA ^ 2 = AE ^ 2 + OE ^ 2 [/ matemáticas]
[matemática] (R1 + R4) ^ 2 = R1 ^ 2 + (x_4 – x_E) ^ 2 + (y_4 – y_E) ^ 2 [/ matemática]
[matemáticas] x_4 ^ 2 + y_4 ^ 2 – 2 * x_4 * x_E – 2 * y_4 * y_E = R4 ^ 2 + 2 * R1 * R4 – x_E ^ 2 – y_E ^ 2 [/ matemáticas]
Obtiene otra ecuación similar con términos cuadráticos y lineales de x4 e y4 .
Resta ambas ecuaciones y perderás los términos cuadráticos de x4 e y4 , dejando solo los términos lineales x4 e y4 en la ecuación:
[matemáticas] 2 * x_4 (x_E – x_D) + 2 * y_4 (y_E – y_D) = x_E ^ 2 – x_D ^ 2 + y_E ^ 2 – y_D ^ 2 [/ matemáticas]
Use el teorema de Pitágoras para otro triángulo de su elección, por ejemplo, triángulo FOB para obtener:
[matemáticas] OB ^ 2 = BF ^ 2 + OF ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] (R2 + R4) ^ 2 = R2 ^ 2 + (x_4 – x_F) ^ 2 + (y_4 – y_F) ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] x_4 ^ 2 + y_4 ^ 2 – 2 * x_4 * x_F – 2 * y_4 * y_F = R4 ^ 2 + 2 * R2 * R4 – x_F ^ 2 – y_F ^ 2 [/ matemáticas]
Esto le da otra ecuación mixta que se puede restar de cualquiera de las otras dos ecuaciones del teorema de Pitágoras para obtener la segunda ecuación que involucra solo términos lineales de x4 e y4 .
Lo resté del segundo para obtener:
[matemáticas] 2 * x_4 (x_F – x_E) + 2 * y_4 (y_F – y_E) = x_F ^ 2 – x_E ^ 2 + y_F ^ 2 – y_E ^ 2 + 2R4 (R2 – R1) [/ matemáticas]
Y ahi tienes. Tienes dos ecuaciones lineales de x4 e y4 . Resuélvalos y obtenga la respuesta final.
Los cálculos involucran mucho álgebra tediosa y, como todo autor útil, dejo la parte de cálculo como un ejercicio para el lector. :-pags