¿Cuál es el área de superficie de un fractal?

Answer 1

Una vez vi un anuncio afuera de un bar para un happy hour especial en un patio de cerveza. Esto parecía una gran estratagema: si el contenedor es una pajita de un metro de largo, eso no es mucha cerveza. Por otro lado, tal vez el contenedor sea de un metro de altura, pero tiene una sección transversal cuadrada de 7 pies por 7 pies, y solo obtienes una gran cantidad de cerveza si puedes terminar todo. Como ese “patio de cerveza” excedió el tamaño de tu cuerpo, nunca podrás beberlo.

Primera observación: No se puede usar una longitud para especificar un volumen de cerveza.

Ahora supongamos que tenemos una pinta de cerveza. ¿Qué tan alto es? Al variar el tamaño del contenedor en el que lo coloca, puede hacerlo arbitrariamente alto o bajo. ¿Cuánta área ocupa la pinta de cerveza cuando la derramas en el suelo? Depende de qué tan grueso sea el charco.

Segunda observación: un volumen de cerveza no se puede medir en términos de su longitud.

En general, los objetos físicos en el mundo, como los líquidos, son tridimensionales y solo tienen una medida espacial tridimensional. No hay una manera significativa de medirlos en 1 o 2 dimensiones.

Muchas integrales tienen una dimensión no integral, por lo que no tiene sentido hablar de su longitud, área o volumen.

Por ejemplo, el conjunto de Cantor es un fractal que puede parecer que tiene longitud, pero no lo tiene. Aquí está la construcción del conjunto de Cantor:

1. Dibuja un segmento de línea en el eje real de 0 a 1.
2. Borrar el tercio medio de cada segmento de línea existente
3. Repita el paso 2 para siempre.

¿Cómo se puede medir la longitud del fractal resultante? Puede detenerlo a mitad de la construcción y agregar las longitudes de todos los segmentos de línea, pero ese no es el conjunto de Cantor. El conjunto final de Cantor, después del paso 3, no tiene longitudes continuas, solo puntos.

Entonces, quizás el conjunto de Cantor es de dimensión 0, entonces podríamos medirlo contando los puntos. Por desgracia, tiene un número infinito de puntos.

Para definir cualquier medida significativa de un fractal, primero debemos determinar su dimensión de Hausdorff. Aquí está el procedimiento.

1. Encuentre alguna forma de cubrir el fractal con esferas n- dimensionales (segmentos de línea, discos, esferas tridimensionales, etc.) de modo que si el radio de cada n-esfera se eleva a alguna potencia d , y estos términos se suman, entonces El resultado no es ni 0 ni infinito.
2. Anote el valor d .

Aquí hay una descripción ondulada a mano de por qué la dimensión del conjunto de Cantor es log [math] _3 [/ math] (2):

• Cubra la sección de la recta numérica real de 0 a 1/3 con un segmento de línea de longitud 1/3.
• Cubra la sección de la recta numérica real de 2/3 a 7/9 con un segmento de línea de longitud 1/9
• Cubra la sección de la recta numérica real del 8/9 al 25/27 con un segmento de línea de longitud 1/27
• Continúe cubriendo la sección de la recta numérica real desde 1- (1/3) ^ n hasta 1–2 * (1/3) ^ {n + 1} con un segmento de línea de longitud (1/3) ^ {n +1} para n de 3 a infinito. Cada punto en el conjunto de Cantor está cubierto por dicho segmento.
• Eleve las longitudes de todos estos segmentos al registro de energía [math] _3 [/ math] (2) y agréguelos
• La suma es finita y no es 0.
• Simplemente no encontrará la manera de obtener dicha suma utilizando una cobertura diferente y / o una dimensión diferente.

Dada esta dimensión, podríamos definir una medida dimensional log [math] _3 [/ math] (2) para conjuntos de la misma dimensionalidad que el conjunto de Cantor, como el conjunto de Cantor colocado a continuación de una copia del conjunto de Cantor que ha sido desplazado 3 unidades a la derecha, o un conjunto de Cantor que comenzó con un segmento de línea en el eje real de 1 a 39.

Vale la pena mencionar que el método descrito anteriormente puede usarse para demostrar que la línea real tiene una dimensión de Hausdorff de 1, y que el plano cartesiano tiene una dimensión 2. Tengo una prueba de esto, pero no encaja dentro del alcance de esta pregunta

Answer 2

Esto es como preguntar cuál es el área del triángulo o cuál es el volumen de un cubo, es decir, depende del triángulo o del cubo. En este caso, depende del fractal.

Por ejemplo, la esponja Menger tiene un área de superficie infinita, mientras que el área de superficie de un tetraedro de Sierpinski de longitud lateral L es [matemática] L ^ 2 \ sqrt {3} [/ matemática]

Answer 3

Depende del fractal.

El copo de nieve de Koch, por ejemplo, tiene un límite finito a su área, de 8/5 del triángulo inicial, aunque tiene un perímetro infinito:

La alfombra Sierpinski tiene un límite de área 0, pero también tiene un “borde” infinito:

Y una Curva del Dragón sigue creciendo, por lo que tiene un área infinita y un perímetro infinito (no es que sea realmente una forma cerrada):

Answer 4

¿Cuál es el área de un towell? Largo x ancho si fuera bidimensional, pero ¿qué pasa con los pequeños rizos que tiene la tela? Si considera el área de esas curvas como si fueran micro tubos retorcidos, entonces el área real sería mucho más grande.

Pero, ¿qué pasaría si esos curlins no fueran tubos perfectos, sino que tuvieran muchos aires más pequeños, como en realidad tienen? El área de towell es entonces unas pocas órdenes de magnitud más grande que antes. Si fuera un fractal, entonces el área sería infinita y su dimensión fractal sería mayor que 2.

Los fractales no tienen un valor para el área, la longitud o el volumen, sino que tienen una dimensión fractal y, a veces, un límite que los contiene.

Answer 5

Para todos los fractales 2D, el área de superficie es 0. El área de superficie encerrada por el fractal depende de la forma y el tamaño del fractal (y si está cerrado), como con cualquier otra forma.

Para fractales en el espacio 3D (o superior) con dimensión topológica 2, es decir, fractales de superficie, entonces su área de superficie es infinita:

de https://www.researchgate.net/pub …

Sin embargo, no es particularmente informativo decir simplemente que el área de superficie es infinita, es como decir que el número o los puntos en cualquier segmento de línea es infinito, sin tener en cuenta que nunca podemos medir y comparar sus longitudes.

Es mejor decir que no tienen un área de superficie , tienen una cantidad de superficie medida en metros [matemática] ^ {D} [/ matemática] donde D es su dimensión fractal. Esta cantidad se llama medida fractal, a menudo específicamente la medida de Hausdorff.