Todos hemos sido educados con la idea de que los objetos unidimensionales están formados por líneas, objetos bidimensionales de superficies y objetos tridimensionales de volúmenes.
Con la investigación de los fractales, nos vemos obligados a reconocer que ciertos objetos no encajan fácilmente en esta clasificación. Benoit Mandelbrot da el ejemplo de la costa de Gran Bretaña. Tal línea tiene una dimensión topológica de 1. Sería razonable medir qué tan larga es esa línea. Si considera que Gran Bretaña mide aproximadamente 1000 km de un extremo a otro, puede adivinar que la costa es más de 2000 km pero no más de unos pocos múltiplos de eso.
Si aproxima el litoral por segmentos de línea recta, mediría un cierto valor. 4000 km tal vez. Pero si observa detenidamente, verá que ciertos segmentos de línea se saltarán sobre las entradas, por lo que claramente la línea costera es un poco más larga de lo que acaba de calcular. Si usa segmentos de línea más cortos, la línea costera sería más larga, pero aún le faltarían entradas más pequeñas.
Podrías repetir este proceso para siempre y siempre obtener una costa más larga. De hecho, obtendrá una costa infinitamente larga si está dispuesto a realizar las mediciones. Esto se debe a que el litoral es fractal, es decir, infinitamente irregular y tiene una dimensión fractal de ~ 1.25. Un poco más que unidimensional.
- ¿Puede existir prácticamente un coseno de un ángulo de 0, 180 o 360 grados?
- Cómo derivar la fórmula V = (1/3) pi r ^ 2h donde r es el radio del círculo base y h es la altura del cono
- Cómo verificar algebraicamente que 3 medianas se cruzan en un solo punto
- ¿Puedes hacer un tesseract fractal con código?
- Cómo encontrar la ecuación de un círculo cuyo centro es (0,1) y que atraviesa (1,0)
Un ejemplo más convincente es la curva de Hilbert a continuación.
[crédito wikimedia]
Esto también tiene una dimensión topológica de 1, es decir, está hecho de segmentos de línea. Sin embargo, si repite el patrón infinitamente muchas veces, como en el GIF animado, entonces la curva llenaría completamente el cuadro. Terminas con un cuadrado blanco que tiene una dimensión de 2 …
La curva de Hilbert tiene una dimensión fractal de 2 y está formada por segmentos de línea unidimensionales. La mayoría de los objetos fractales tienen dimensiones fraccionarias, es decir, entre 1,2 y 3.
En términos simples, en los ejemplos anteriores, la dimensión fractal es una dimensión del objeto que “es más que una línea” pero “no es una superficie”.
Los fractales son un poco raros, pero siempre me agrada pensar que el mundo no se compone simplemente de 3 dimensiones. Es mucho más interesante que eso.