¿Está utilizando geometría euclidiana incluso en espacios de dimensiones superiores?

Answer 1

Incluso en dos dimensiones tiene otras opciones además de la geometría euclidiana. Hay geometría esférica, que estudia la superficie de una esfera (que todavía es bidimensional), hay geometría hiperbólica que mira el plano hiperbólico, y luego más lejos hay otras variedades Riemannianas bidimensionales y múltiples diferenciales y múltiples topológicas que pueden todos deben considerarse como ciertos tipos de “geometrías”.

Para muchos propósitos, incluso en dos dimensiones, la geometría hiperbólica es mucho más común y útil que la euclidiana. Infinitamente muchas superficies (compactas) de Riemann tienen una geometría hiperbólica, mientras que solo una (la esfera) tiene una esférica y solo otra (el toro) tiene una euclidiana.

(Este es uno de los modelos del plano hiperbólico).

A medida que avanza hasta tres dimensiones y más, las cosas se vuelven aún más complejas. Hay muchas, muchas variedades tridimensionales de todo tipo, y sus estructuras se pueden clasificar de varias maneras. Hay, por ejemplo, ocho geometrías distintas, uniformes y máximas en 3 múltiples compactos, incluidos los euclidianos, los esféricos, los hiperbólicos y los más exóticos como nulo y solv (ver Conjetura de Geometrización de Thurston).

Entonces, no, preferimos no apegarnos solo a la geometría euclidiana. El universo matemático es mucho más rico y emocionante que este, geometría bastante plana y aburrida.

Answer 2

Los espacios de productos internos de dimensión arbitraria son euclidianos, y se usan en todas las matemáticas. Por lo general, se ven por primera vez en un curso de álgebra lineal.

Un espacio de producto interno es un espacio vectorial equipado con un producto interno (producto de puntos). Los ángulos y las distancias se pueden definir en términos de un producto interno, y la geometría que proviene de ellos es euclidiana.

Answer 3

El número de dimensiones es uno de los tres parámetros que definen una geometría.

La constante de curvatura es otra (+ = esférica, 0 = euclidiana, – = hiperbólica),

El elemento entre corchetes en esto es el tercero: en un espacio (orientable [o]) (completo [f]), las líneas solo pueden (cruzarse una vez [c]). Se debe descartar al menos un elemento. La geometría de Euclides es en realidad fE (él nunca considera el infinito. La geometría de Möbius es el plano euclidiano completo, es cE, una bestia completamente diferente.

Answer 4

A2A: Sí, todos los días. Cada vez que estudio Lattice (grupo) o uso el método de gradiente Conjugate.