¿Cuáles son algunas pruebas distintivas de la media aritmética y la desigualdad de la media geométrica?

Answer 1

Considere [math] f (x_1, x_2, \ cdots, x_n) = \ dfrac {x_1 + x_2 + \ cdots + x_n} n- \ sqrt [n] {x_1x_2 \ cdots x_n} [/ math]

[math] f (x_1, x_2, \ cdots, x_n) [/ math] toma el extremo cuando [math] \ dfrac {\ partial f} {\ partial x_1} = [/ math] [math] \ dfrac {\ partial f } {\ partial x_2} = \ cdots = [/ math] [math] \ dfrac {\ partial f} {\ partial x_n} = 0 [/ math]

[math] \ dfrac {\ partial f} {\ partial x_i} = \ dfrac 1n \ left (1- \ dfrac {\ sqrt [n] {x_1x_2 \ cdots x_n}} {x_i} \ right) = 0 [/ math ]

[matemática] \ implica x_i = \ sqrt [n] {x_1x_2 \ cdots x_n} = \ text {media geométrica} [/ matemática]

Cuando x> media geométrica, [matemática] \ dfrac {\ partial f} {\ partial x_i}> 0 [/ matemática], aumentando.

Cuando x <media geométrica, [matemática] \ dfrac {\ partial f} {\ partial x_i} <0 [/ matemática], disminuyendo.

Entonces [math] f (x_1, x_2, \ cdots, x_n) [/ math] toma el valor mínimo en [math] x_1 = x_2 = \ cdots = x_n = \ sqrt [n] {x_1x_2 \ cdots x_n} [/ math] , que es cero, por lo tanto, [math] f (x_1, x_2, \ cdots, x_n) \ ge 0 [/ math], QED .

Answer 2

Deje [math] \ overrightarrow {w} = (\ overline {x}, \ overline {x},… \ overline {x}). [/ Math] If [math] \ overrightarrow {x} = \ overrightarrow {w} [/ math], la identidad es válida (esto es trivial).

Reclamación:

Si no, podemos caminar en pasos máximos (n-1) desde [matemática] \ overrightarrow {x} [/ math] a [math] \ overrightarrow {w} [/ math] mientras que con cada paso la media geométrica aumenta estrictamente. Esto demuestra la desigualdad dada AM-GM.

Prueba:

Si la identidad no se mantiene, el primer nodo de la ruta [math] \ overrightarrow {v0} = \ overrightarrow {x} [/ math]. Este nodo tiene al menos un par de coordenadas [matemática] (v0_m [/ matemática], [matemática] v0_k) [/ matemática] con [matemática] v0_m> \ overline {x} [/ matemática] y [matemática] v0_k <\ overline {x} [/ math]. Deje [math] d = \ min ({| v0_m - \ overline {x} |, | v0_k- \ overline {x} |}) [/ math]. Deje que el nuevo nodo de la ruta [math] \ overrightarrow {v1} [/ math] sea igual al nodo anterior [math] \ overrightarrow {v0} [/ math], con la excepción de que: [math] v1_m = v0_m - d [/ math] y [math] v1_k = v0_k + d [/ math]

Entonces la nueva media geométrica:

[matemáticas] \ sqrt [n] {(v0_m-d) (v0_k + d) \ prod_ {i \ neq k, m} v0_i} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ sqrt [n] {(d (v0_m-v0_k) -d ^ 2) \ prod_ {i \ neq k, m} x_i + \ prod_ {i = 1} ^ {n} v0_i} [/ math]

[matemáticas] \ geq \ sqrt [n] {(d (2d) -d ^ 2) \ prod_ {i \ neq k, m} v0_i + \ prod_ {i = 1} ^ {n} v0_i} [/ math]

[matemáticas] [/ matemáticas] [matemáticas] = \ sqrt [n] {d ^ 2 \ prod_ {i \ neq k, m} v0_i + \ prod_ {i = 1} ^ {n} v0_i} [/ matemáticas]

[matemáticas]> \ sqrt [n] {\ prod_ {i = 1} ^ {n} v0_i} [/ matemáticas]

Es más grande que el anterior.

Si el nuevo punto [math] \ overrightarrow {v1} [/ math] aún no es igual a [math] \ overrightarrow {w} [/ math], dé otro paso.

Dado que con cada iteración, al menos una coordenada adicional se convertirá en [matemáticas] \ overline {x} [/ matemáticas], esta receta toma un máximo de [matemáticas] n-1 [/ matemáticas] pasos. (Nota: en el último paso, dos coordenadas se convertirán en [matemáticas] \ overline {x} [/ matemáticas]) [matemáticas] \, \, \, \, \, \, \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 3

Deje que la media aritmética se denote por [math] m [/ math]. Se puede mostrar usando varias herramientas que tenemos [math] \ exp (x) \ geq x + 1 [/ math] para todos [math] x \ in \ mathbb {R} [/ math]. Por lo tanto, debemos tener eso

[matemáticas] \ displaystyle \ exp \ left (\ frac {x_i} {m} – 1 \ right) \ geq \ frac {x_i} {m} [/ math]

para todos [matemáticas] i [/ matemáticas]. Como ambos lados no son negativos, multiplicamos estas desigualdades para que [math] 1 \ leq i \ leq n [/ math] obtenga

[matemáticas] \ displaystyle \ exp \ left (\ frac {x_1 + x_2 +… + x_n} {m} – n \ right) = \ exp (0) = 1 \ geq \ frac {x_1 x_2… x_n} {m ^ n} [/ matemáticas]

Si se toman las raíces [matemáticas] n [/ matemáticas] y se multiplican ambos lados por la media aritmética [matemáticas] m [/ matemáticas] se obtiene el resultado deseado.

Answer 4

Por supuesto, existe el clásico
[matemáticas] (a + b + c) ((1 / a) + (1 / b) + (1 / c)) ≥9
[/matemáticas]

Por AM-GM tenemos a + b + c ≥ 3∛abc y (1 / a) + (1 / b) + (1 / c) ≥ 3∛ (1 / abc), por lo que al multiplicarlos juntos obtenemos (a + b + c) (1 / a + 1 / b + 1 / c) ≥3∛abc * 3∛ (1 / abc) = 9 * ∛abc * 1 / abc = 9