¿Sabes cómo resolver este problema de geometría?

Answer 1

Podemos resolver esto con números complejos. Representan bien la información en este problema.

Por ejemplo, simplemente deje que los cuatro vértices del polígono, en el sentido contrario a las agujas del reloj, sean los vectores A, B, C y D en el plano complejo.

Para cada uno de los vectores AB, BC, CD y DA, necesitamos tomar su punto medio y agregarle un vector que gire 90 ° en sentido horario y la mitad de su longitud para obtener el centro del cuadrado. Hagámoslo solo por AB.

El punto medio es [matemáticas] \ frac {A + B} {2} [/ matemáticas]. El vector que va de A a B es [matemática] BA [/ matemática]. Y la rotación de 90 ° en el sentido de las agujas del reloj de este segmento con media longitud es [matemática] -i \ frac {BA} {2} [/ matemática]. Por lo tanto, el centro del cuadrado se encuentra en [matemáticas] \ frac {A + B} {2} -i \ frac {BA} {2} = \ frac {1 + i} {2} A + \ frac {1 -i} {2} B [/ matemáticas].

Obtenemos resultados similares para BC, CD y DA. El paso final es encontrar los dos vectores que van de un centro al opuesto. Tomamos el centro del cuadrado AB y restamos el centro del cuadrado CD, y también para BC y DA. Nosotros recibiremos

[matemáticas] \ frac {1 + i} {2} (CA) + \ frac {1-i} {2} (BD) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {1 + i} {2} (BD) + \ frac {1-i} {2} (CA) [/ matemáticas]

Es fácil ver que cuando multiplicamos el vector superior por [math] i [/ math], obtenemos el vector inferior. Esto significa que son perpendiculares e iguales en magnitud.

Entre otras cosas, los números complejos son buenos para construir puntos medios y segmentos giratorios en geometría plana, y nos han permitido resolver este problema.

Answer 2

Prueba de construcción 1

El enlace de arriba contiene la construcción real, pero lo demuestra en tres pasos:

1. Construya los cuadrados, sus diagonales y los segmentos que conectan los centros de los cuadrados opuestos.

2. Para demostrar que los segmentos son perpendiculares, construya un círculo centrado en la intersección de los dos segmentos. Sus segmentos, ya sea a) son diámetros del círculo b) contienen diámetros del círculo o c) están contenidos en diámetros del círculo. Identifique uno de los diámetros que cruza uno de sus segmentos y construya una bisectriz perpendicular de este segmento. Será a) será su otro segmento b) contendrá su otro segmento o c) estará contenido por su otro segmento, lo que demuestra que sus segmentos son perpendiculares.

3. Para probar que los segmentos son congruentes, utilizará la propiedad transitiva. Primero construya un círculo centrado en un punto final de un segmento e intersecte con el otro punto final. Todos los radios de este círculo no son congruentes con su segmento. Haga lo mismo para el otro segmento. Ahora, para demostrar que estos radios son todos iguales, identifique un punto de intersección de los dos círculos. Construya un círculo con un centro en esta intersección que pase por el centro de uno de estos círculos; notará que también pasa a través del centro del otro, lo que demuestra que todos estos radios son congruentes y, por lo tanto, también lo fueron sus segmentos originales.