Si está familiarizado con la manipulación de vectores, ¡este problema se vuelve bastante fácil!
En lugar de pensar en AC, AB y BC como segmentos de línea, propongo pensar en ellos como vectores: [math] \ vec {AC}, \ vec {AB}, [/ math] y [math] \ vec {BC }[/matemáticas].
Recuerde que si recibe un vector [matemáticas] \ vec {v} [/ matemáticas] = [matemáticas] [/ matemáticas], entonces [matemáticas] | \ vec {v} | ^ {2} = v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2} [/ math].
Podemos usar esta fórmula de la siguiente manera:
- ¿Está utilizando geometría euclidiana incluso en espacios de dimensiones superiores?
- ¿Cuáles son algunas pruebas distintivas de la media aritmética y la desigualdad de la media geométrica?
- ¿Qué es la geometría algebraica?
- ¿Por qué en la relatividad no existe una distinción real entre las coordenadas de espacio y tiempo, al igual que entre dos coordenadas espaciales?
- ¿Sabes cómo resolver este problema de geometría?
[matemática] | AC | ^ {2} [/ matemática] = [matemática] 74 [/ matemática] = [matemática] 5 ^ {2} [/ matemática] + [matemática] 7 ^ {2} [/ matemática] [ matemática] \ rightarrow [/ matemática] [matemática] AC_ {x} [/ matemática] = [matemática] 5 [/ matemática] y [matemática] AC_ {y} [/ matemática] = [matemática] 7 [/ matemática]
[matemáticas] | AB | ^ {2} [/ matemáticas] = [matemáticas] 116 [/ matemáticas] = [matemáticas] 4 ^ {2} [/ matemáticas] + [matemáticas] 10 ^ {2} [/ matemáticas] [ matemática] \ rightarrow [/ matemática] [matemática] AB_ {x} [/ matemática] = [matemática] 4 [/ matemática] y [matemática] AB_ {y} [/ matemática] = [matemática] 10 [/ matemática]
[matemática] | BC | ^ {2} [/ matemática] = [matemática] 370 [/ matemática] = [matemática] 9 ^ {2} [/ matemática] + [matemática] 17 ^ {2} [/ matemática] [ matemática] \ rightarrow [/ matemática] [matemática] BC_ {x} [/ matemática] = [matemática] 9 [/ matemática] y [matemática] BC_ {y} [/ matemática] = [matemática] 17 [/ matemática]
Entonces nuestra fórmula sugiere que podemos escribir:
[matemáticas] \ vec {AC} = , [/ matemáticas] [matemáticas] \ vec {AB} = , [/ matemáticas] [matemáticas] \ vec {BC} = [/ matemáticas]
NOTA: Escribir estos vectores de esta manera NO es único; solo se nos da información sobre la LONGITUD de [math] \ vec {AC} [/ math], lo que significa que cualquier vector de longitud [math] \ sqrt {74} [/ math] podría pasar como nuestro “[math] \ vec {AC} [/ math] “. Un ejemplo es [matemática] [/ matemática] (cambiar las coordenadas).
La razón por la que elegí escribir los vectores de esta manera particular es porque si miras detenidamente, puedes notar la siguiente relación:
[matemáticas] \ vec {BC} [/ matemáticas] [matemáticas] = [/ matemáticas] [matemáticas] \ vec {AB} [/ matemáticas] [matemáticas] + [/ matemáticas] [matemáticas] \ vec {AC} [/ matemáticas]
¡Ahora esto empieza a parecer un triángulo!
Ahora, podría progresar desde aquí dejando caer el concepto de vectores (ya no los necesitamos para hacer nuestro análisis), pensando nuevamente en segmentos de línea y haciendo un análisis de coordenadas. Es decir, establezca el punto B = (0, 0), C = (9, 17) y A = (4, 10), y resuelva el área del triángulo usando una calculadora y sus habilidades de trigonometría. Esto debería ser mucho más fácil dadas las ubicaciones concretas para los puntos A, B y C.
Sin embargo, sigamos con nuestro concepto de vector, porque creo que obtener la respuesta es más fácil, más analítico (y seamos honestos: mucho más genial) de esta manera.
En primer lugar, permítame tomar prestado parte de nuestro análisis de coordenadas y redefinir algunos puntos para mayor claridad: llamemos al punto X = B = (0, 0), al punto Y = A = (4, 10) y al punto Z = C = (9, 17).
Entonces, ahora lo que era [matemáticas] \ vec {BC} [/ matemáticas] ahora es [matemáticas] \ vec {XZ} [/ matemáticas], lo que era [matemáticas] \ vec {AB} [/ matemáticas] es ahora [matemáticas] – \ vec {XY} [/ math], y que nuestro triángulo ABC ahora se ha convertido en un triángulo XYZ. Tenga en cuenta que nuestra declaración del problema solo especifica la longitud, por lo que este negativo realmente no debería molestarlo.
Recuerde que la magnitud del producto cruzado entre dos vectores [math] \ vec {v_ {1}} [/ math] x [math] \ vec {v_ {2}} [/ math] es el área del paralelogramo que ellos Produce:
En el diagrama, esto significa que el área del triángulo para el cual [math] \ vec {a} [/ math] y [math] \ vec {b} [/ math] son lados es [math] \ frac {1} {2} | \ vec {a} [/ matemáticas] x [matemáticas] \ vec {b} | [/ matemáticas]
Para resumir, podemos aplicar esta fórmula para calcular el área de nuestro triángulo XYZ a mano (¡sin calculadoras ni trigonometría!):
Área [matemática] = \ frac {1} {2} | \ vec {XZ} [/ matemática] x [matemática] \ vec {XY} | [/ matemática] [matemática] = \ frac {1} {2} | [/ matemáticas] x [matemáticas] | = \ frac {1} {2} | 22 | = 11. [/ matemáticas]