¿Hay una cantidad infinita de medias lunas con las dos longitudes de arco de 25 cm y 40 cm y hay una fórmula para encontrar el área de una media luna?

Answer 1

Creo que hay un número infinito de tales crecientes.

Se forma una media luna cuando dos círculos se cruzan. Arreglemos uno de ellos y supongamos que es lo suficientemente grande como para marcar dos puntos en su circunferencia con una longitud de arco de 25 cm de separación. Este arco implica un acorde cuya longitud [matemática] c [/ matemática] es algo menor que 25 cm. Si dejamos que el radio del círculo fijo crezca indefinidamente, manteniendo nuestros puntos separados 25cm en el arco, [math] c [/ math] también crece, acercándose a 25cm. Pero vamos a mantenerlo arreglado por ahora. Luego, coloquemos un segundo círculo un poco más grande que el primero, de modo que intersecte el primer círculo en los dos puntos marcados. La longitud del arco que forma el segundo círculo será un poco más de 25 cm. A medida que dejamos crecer el segundo círculo, la longitud del arco entre los puntos aumenta y habrá un punto cuando sean 40 cm. (Con un círculo en realidad hay dos puntos de este tipo; consideremos solo el que forma una media luna).

Entonces, una vez que arreglamos el primer círculo y marcamos los puntos, eso fijó el acorde y determinamos de manera única el resto de la media luna. Pero aún podemos cambiar el primer círculo, digamos aumentando su radio y aumentando así la longitud del acorde. Luego ajustamos el segundo círculo para que encaje, será un tamaño diferente al que tenía la primera vez. Por lo tanto, la media luna resultante será diferente.

No hay razón para pensar que todas estas medias lunas diferentes tendrían la misma área, pero tendría que tratar de resolverlo para estar seguro.

Answer 2

Solo puedo responder la primera parte de su respuesta, y aun así no es una prueba matemática, sino más bien una (floja) lógica.

Tome dos palos flexibles delgados, o algún material similar, de las longitudes que especifique. Une cada extremo de los palos juntos. Notará de inmediato que la única forma en que esto puede suceder es si se forma una media luna; También debería ser obvio que esto solo puede suceder de una manera. No importa cómo los gires y los gires, si cada palo forma un arco adecuado, siempre se verá igual.