El término importante aquí es [matemáticas] 4F (n / 2) [/ matemáticas]. A medida que el tamaño aumenta aproximadamente en un factor de 4 con una duplicación de [matemáticas] n [/ matemáticas], esto parece cuadrático. Así que supongo que es de la forma [matemáticas] F (n) = an ^ 2 + bn + c [/ matemáticas]. Veamos si podemos encontrar una solución como esa conectándonos a la recurrencia. Esto nos da [matemáticas] an ^ 2 + bn + c = 4a (n / 2) ^ 2 + (4b / 2 + 1) n + 4c [/ matemáticas]. Al aislar los términos para [matemáticas] a [/ matemáticas], [matemáticas] b [/ matemáticas] y [matemáticas] c [/ matemáticas] y dividir los factores de [matemáticas] n [/ matemáticas], tenemos [matemáticas ] a = a [/ matemática], [matemática] b = 2b + 1 [/ matemática], [matemática] c = 4c [/ matemática]. Esto fuerza [math] b = -1 [/ math] y [math] c = 0 [/ math] mientras deja [math] a [/ math] libre.
Para encontrar [math] a [/ math], podemos resolver [math] F (1) [/ math], que no se define en su recurrencia. Al conectarlo, tenemos [matemática] F (1) = a – 1 [/ matemática], entonces [matemática] a = F (1) + 1 [/ matemática], completando la solución. Como su recurrencia solo se define sobre números naturales, solo tiene sentido en potencias de 2. Para las no potencias de 2, la división por 2 eventualmente lo sacará de los números naturales antes de tocar el caso base de [matemáticas] 1 [ / matemáticas], por lo que no está claro exactamente cuál debería ser la respuesta. En las potencias de 2, esta solución es única, ya que proporciona el valor único para cada [matemática] F (2 ^ n) [/ matemática] dada [matemática] F (1) [/ matemática].
Entonces, la solución exacta (y, por lo tanto, el límite superior) es [matemática] F (n) = (F (1) + 1) n ^ 2 – n [/ matemática].
Si, según lo sugerido por Tom Hyer en los comentarios [matemática] F (n / 2) [/ matemática] significa [matemática] F (\ lfloor n / 2 \ rfloor) [/ matemática] entonces [matemática] F (0) = 0 \ Rightarrow F (1) = 1 [/ math] y la solución se convierte en [math] 2n ^ 2 – n [/ math]. Esta solución sería exacta para potencias de 2 y, de lo contrario, demasiado grande, por lo que es un límite superior.
- ¿Cuáles son todos los máximos divisores comunes posibles de n y n + 6?
- Si [math] n [/ math], [math] k \ in \ mathbb {Z ^ +} [/ math] y [math] 8 ^ n = 2 ^ k [/ math], entonces cuál es el valor de [ matemáticas] \ frac {n} {k} [/ matemáticas]?
- ¿Hay alguna forma conocida de demostrar que un algoritmo es óptimo? ¿Hay alguna forma de demostrar que un algoritmo lleva un tiempo mínimo? (El mejor método posible para lograr la tarea dada).
- Cuando se computa con exponentes muy grandes (> 150) con un número entero pequeño, ¿es mejor utilizar la aritmética de precisión arbitraria o la exponenciación modular?
- Cómo averiguar qué castillo conectar con qué otro, para que los caminos sean los menos largos