Si [math] n [/ math], [math] k \ in \ mathbb {Z ^ +} [/ math] y [math] 8 ^ n = 2 ^ k [/ math], entonces cuál es el valor de [ matemáticas] \ frac {n} {k} [/ matemáticas]?

Si tomamos el registro de ambos lados en la base 2, queda bastante claro.

Log (base 2) 8 ^ n = n * Log (base 2) 8 = n * 3 = Log (base 2) 2 ^ k = k * Log (base 2) 2 = k

=> 3n = k

=> 3n / k = 1

=> n / k = 1/3

Otra forma de hacer esto sin registros.

Lleva ambos lados a la potencia de 1 / n (recuerda que n no es cero aquí, así que está bien).

Esto implica:

=> ([matemática] 8 ^ n [/ matemática]) ^ [matemática] ([/ matemática] [matemática] 1 / n) [/ matemática] [matemática] = (2 ^ k) [/ matemática] ^ [matemática ] (1 / n) [/ matemáticas]

=> [matemáticas] 8 = 2 [/ matemáticas] ^ [matemáticas] (k / n) [/ matemáticas]

=> [matemáticas] 8 = (2 ^ 3) = 2 [/ matemáticas] ^ [matemáticas] (k / n) [/ matemáticas]

=> [matemáticas] 3 = k / n [/ matemáticas] (ya que [matemáticas] a ^ n = a ^ m [/ matemáticas] n = m)

=> [matemáticas] n / k = 1/3 [/ matemáticas]