Bueno, hay un par de propiedades de registro, y usaremos la fundamental:
Log (a) + log (b) = log (ab)
Bueno, ¿por qué es así?
Deje log (a) = y y log (b) = z
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entonces exp (y) = a, exp (z) = b
ab = exp (y) * exp (z) = exp (y + z)
Ahora tomamos el registro de ambos lados y obtenemos:
Log (ab) = log (exp (y + z)) = (y + z) * log (e) = y + z
Bueno, y + z = log (a) + log (b) y hemos terminado.
Log (ab) = log (a) + log (b)
Hice uso de dos reglas que me gustaría explicar antes de terminar.
Log (a ^ b) = b * log (a)
Y log (e) = 1.
El primero:
Bueno, la función de registro se define como el exponente de la base que nos daría la entrada. Entonces puede ver esto intuitivamente, si no, probémoslo.
Deje y = log (a). Entonces exp (y) = a.
Si elevamos cada lado a la potencia b, entonces
a ^ b = exp (y) ^ b
Tomando el registro de ambos lados.
Log (a ^ b) = log (exp (y) ^ b) = y * b = b * log (a).
Por qué es así, bueno, cuando escribimos esto, nos preguntamos qué número nos daría exp (y * b) = exp (?). Bien ? = y * b.
La segunda regla, volverá a utilizar la misma lógica. Log (e) =? Es lo mismo que decir exp (?) = E. Que obviamente es 1.
Para volver a su pregunta:
Log (7/4) + log (8/7) = log (7 * 8 / (4 * 7)). Cancelar los sietes nos lleva a log (8/4) = log (2).
Supuse que la base del logaritmo era e, pero, por supuesto, las mismas reglas se aplican a cualquier base.