Una condición necesaria (pero probablemente no suficiente) es que n! + 1 es un cuadrado perfecto.
Si los elementos {2, 3, 4, … n} se pueden dividir en dos subconjuntos A y B de modo que el producto de los elementos en A sea el valor k, y el producto de los elementos en B sea (k-2) , entonces tenemos el resultado:
¡norte! = k * (k-2)
a partir de aquí, podemos derivar:
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k ^ 2 – 2k – n! = 0
Usando la fórmula cuadrática y resolviendo para k, obtenemos:
k = 1 +/- sqrt (1 + n!).
Podemos descartar el resultado negativo, ya que no es posible generar un producto negativo a partir de los elementos de A, por lo tanto, tenemos:
k = 1 + sqrt (n! + 1).
A partir de aquí, podemos concluir que para que esto sea una respuesta, n! + 1 debe ser un cuadrado perfecto, que coincida con la premisa establecida. Probablemente hay más que se puede decir, utilizando técnicas algebraicas simples como esta.
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EDITAR:
Su observación sobre la relación entre este y el problema de Brocard es una excelente idea. Sin embargo, en este caso, creo que podemos hacer una declaración más sólida y demostrar que ya ha encontrado todos los casos. Tenga en cuenta que tenemos el requisito adicional de acuerdo con la declaración del problema de que podemos dividir los números en un conjunto A y B, mientras que, en general, para el problema de Brocard, este no es un requisito.
Si tenemos un par de números k y k-2, podemos ver de inmediato que ambos deben ser pares o ambos deben ser impares. Como el número 2 tiene que estar en el conjunto A o en el conjunto B, podemos ver que k o k-2 deben ser pares. A partir de aquí, podemos afirmar que ambos deben ser iguales.
Sin embargo, considere un número entero p> 1, y observe que si k mod 2 ^ p = 0 entonces (k – 2) mod 2 ^ p! = 0. Entonces, en otras palabras, si k es divisible por 4, entonces k-2 es no, y si k es divisible por 8, entonces k-2, no lo es, etc. Esto significa que uno de los conjuntos, ya sea A o B, debe tener exactamente una entrada divisible por 2, y todas las demás entradas están en el otro conjunto .
Además, tenga en cuenta que uno de k o k-2 debe ser divisible por 3 y por 5 y por cualquier número primo menor que n. Además, si k es divisible por un número primo q> 2, entonces k-2 no lo es y viceversa. Por lo tanto, el conjunto A o el conjunto B deben contener todos los factores de 3 y uno de ellos también debe contener todos los factores de 5. Sin embargo, ¿qué pasa con el número 15? El número 15 es a la vez un factor de 3 y un factor de 5, por lo que si n> = 15, uno de los conjuntos, ya sea A o B, debe contener ambos números divisibles por 3 y 5. De manera similar, para n> = 12, uno de los conjuntos debe tener todas (excepto 1) de las entradas divisibles por 2 y 5. El efecto de esto es que uno de los conjuntos será muy grande y el otro conjunto quedará muerto de hambre. Cualquier número primo menor o igual a n / 3 se agrupará en el conjunto grande, y el conjunto muerto de hambre obtendrá los productos sobrantes de primos más grandes.
Al observar solo los números divisibles por 2, 3 y 5, podemos ver rápidamente que el producto de todos los números divisibles por estos 3 números abrumará los productos de números divisibles solo por números primos más altos. (Esto debería ser demostrable por inducción, observando números más grandes en grupos de 30. Demuestre que para cada rango de [30 * z + 1, 30 * (z + 1)] que los números divisibles por 2,3 y 5 abruman los números no divisibles por 2,3 y 5).