Ah Otra hormiga Otro ladrillo de dos toneladas. Otra relación de recurrencia incompletamente definida.
Como intenté demostrar en esta publicación de Quora, Euclides vs Newton, algo se está perdiendo en la gran maquinaria de un método universal.
Por otro lado, es bastante fascinante pararse justo al lado del enorme mecanismo de vida y respiración formado por engranajes y ver cómo estos engranajes giran, arrancan y escupen una respuesta correcta. La sinfonía de las matemáticas donde el conductor apunta su bastón y – serie geométrica, vaya; – multiplicación, vete; – derivados sobre [matemáticas] x [/ matemáticas], vaya; – Además, vaya; – factorizando, vete … (aún más genial sería inventar tal mecanismo).
1) Suponemos que:
[matemáticas] T_0 = 1, \; n = 1, 2, 3, 4, \ ldots \ tag {1} [/ math]
2) Comience con la relación de recurrencia dada:
[matemáticas] T_n = T_ {n-1} + 2 ^ n \ tag {2} [/ matemáticas]
3) Multiplica ambos lados de ( 2 ) por [matemáticas] x ^ n [/ matemáticas]:
[matemáticas] T_n x ^ n = T_ {n-1} x ^ n + 2 ^ nx ^ n \ tag {3} [/ matemáticas]
4) Suma ( 3 ) sobre todos los valores legales de [math] n [/ math]:
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n \ geqslant 1} T_n x ^ n = \ sum_ {n \ geqslant 1} T_ {n-1} x ^ n + \ sum_ {n \ geqslant 1} 2 ^ nx ^ n \ etiqueta {4} [/ math]
y espero que exista una función (generadora) [matemática] g (x) [/ matemática] de la forma:
[matemáticas] \ displaystyle g (x) = \ sum_ {n \ geqslant 0} T_n x ^ n \ tag {5} [/ matemáticas]
de cuya representación en serie de potencia simplemente leemos los coeficientes [matemática] T_n [/ matemática] en una forma cerrada, con suerte, como una función amigable en [matemática] n [/ matemática].
5) Considere la suma más a la derecha en ( 4 ):
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n \ geqslant 1} 2 ^ nx ^ n \ tag * {} [/ matemáticas]
Sus términos consisten en dos elementos que tienen el mismo exponente. Por lo tanto:
[matemáticas] 2 ^ nx ^ n = (2x) ^ n \ tag * {} [/ matemáticas]
y:
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n \ geqslant 1} 2 ^ nx ^ n = \ sum_ {n \ geqslant 1} (2x) ^ n \ tag * {} [/ matemáticas]
que bajo ciertas condiciones (cuáles) converge (como series geométricas) a:
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n \ geqslant 1} (2x) ^ n = \ dfrac {2x} {1-2x} \ tag {6} [/ matemáticas]
Uno menos, quedan dos.
6) Considere la suma más a la izquierda en ( 4 ):
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n \ geqslant 1} T_n x ^ n \ tag * {} [/ matemáticas]
¿Podemos expresarlo en términos de [math] g (x) [/ math] de alguna manera con suerte “fácil”?
Bueno, esa suma es prácticamente nuestra [matemática] g (x) [/ matemática] porque lo único que falta es el término cero [matemática] T_0x ^ 0 [/ matemática] – suma y resta de la suma:
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n \ geqslant 1} T_n x ^ n = \ sum_ {n \ geqslant 1} T_n x ^ n + T_0x ^ 0 – T_0x ^ 0 = \ tag * {} [/ math]
Al absorber el término [matemática] T_0x ^ 0 [/ matemática] en la suma, tiramos la variable ficticia de [matemática] 0 [/ matemática] (no de [matemática] 1 [/ matemática]):
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n \ geqslant 0} T_n x ^ n – T_0x ^ 0 = g (x) – T_0x ^ 0 \ tag * {} [/ matemáticas]
Es por eso que no aceptamos las relaciones de recurrencia definidas de forma incompleta: volvemos a ( 1 ) desde donde se deduce que:
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n \ geqslant 1} T_n x ^ n = g (x) – 1 \ tag {7} [/ matemáticas]
Dos abajo, uno para ir.
7) Considere la suma media en ( 4 ):
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n \ geqslant 1} T_ {n-1} x ^ n \ tag * {} [/ matemáticas]
En realidad, es nuestra función de generación que se esconde a simple vista, siempre que eliminemos una sola copia de [math] x [/ math] de ella:
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n \ geqslant 1} T_ {n-1} x ^ n = x \ cdot \ sum_ {n \ geqslant 1} T_ {n-1} x ^ {1-n} = x \ cdot g (x) \ tag {8} [/ math]
8) Recoge todas las piezas y vuelve a poner ( 6 ), ( 7 ) y ( 8 ) en ( 4 ):
[matemáticas] g (x) – 1 = xg (x) – \ dfrac {2x} {1-2x} \ tag {9} [/ matemáticas]
Resuelva ( 9 ) (aritméticamente) para [matemática] g (x) [/ matemática] como si fuera una sola variable desconocida:
[matemáticas] g (x) = \ dfrac {1} {(1-2x) (1-x)} \ tag {10} [/ matemáticas]
9) Antes de este paso, hemos intentado comprimir una serie en una expresión compacta (una función). Ahora queremos realizar la operación opuesta. Hazlo de cualquier manera que puedas.
Aquí podemos dividir ( 10 ) en una suma de dos fracciones independientes:
[matemáticas] g (x) = \ dfrac {2} {1-2x} – \ dfrac {1} {1-x} \ tag {11} [/ matemáticas]
Verificar.
Ahora reconozca el hecho de que cada fracción en ( 11 ) es realmente una serie geométrica disfrazada (bajo ciertas condiciones):
[matemáticas] \ displaystyle \ dfrac {2} {1-2x} = 2 \ cdot \ sum_ {n \ geqslant 0} (2x) ^ n \ tag {12} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle \ dfrac {1} {1-x} = \ sum_ {n \ geqslant 0} x ^ n \ tag {13} [/ matemáticas]
Ponga ( 12 ) y ( 13 ) nuevamente en ( 11 ):
[matemáticas] \ displaystyle g (x) = 2 \ cdot \ sum_ {n \ geqslant 0} (2x) ^ n – \ sum_ {n \ geqslant 0} x ^ n \ tag * {} [/ math]
(Observamos al pasar la simetría de las operaciones: en ( 6 ) pasamos de una serie a una función y en ( 12 ) y ( 13 ) pasamos de una función a una serie)
La estructura del primer término de la suma media anterior se puede manipular de la siguiente manera:
[matemáticas] (2x) ^ n = 2 ^ n \ cdot x ^ n \ tag * {} [/ matemáticas]
y podemos movernos en [math] 2 [/ math] delante de esa suma debajo del signo de suma, ajustando el exponente en consecuencia:
[matemáticas] \ displaystyle g (x) = \ sum_ {n \ geqslant 0} 2 ^ {n + 1} x ^ n – \ sum_ {n \ geqslant 0} x ^ n \ tag * {} [/ math]
Luego viene la aritmética básica de sumas: dado que el rango de las variables de suma en ambos casos es idéntico, podemos fusionar las dos sumas en una sola:
[matemáticas] \ displaystyle g (x) = \ sum_ {n \ geqslant 0} \ Big (2 ^ {n + 1} x ^ n – x ^ n \ Big) \ tag * {} [/ math]
y luego los [math] x ^ n [/ math] s pueden factorizarse:
[matemáticas] \ displaystyle g (x) = \ sum_ {n \ geqslant 0} \ Big (2 ^ {n + 1} – 1 \ Big) x ^ n \ tag {14} [/ math]
10) Al comparar las sumas en ( 5 ) y ( 14 ), concluimos que:
[matemáticas] T_n = 2 ^ {n + 1} – 1 \ etiqueta {15} [/ matemáticas]
o la “forma cerrada” solicitada.