Cómo demostrar que [matemáticas] 2 ^ {n-1} [/ matemáticas] no es un múltiplo de [matemáticas] n [/ matemáticas] para [matemáticas] n> 1 [/ matemáticas]

Answer 1

Obviamente, 2 ^ n-1 es impar, entonces, si hay n para que n divida 2 ^ n-1, entonces n es impar.

Suponga que hay n para que 2 ^ n-1 divisible por n. Supongamos que p es el factor primo más pequeño de n. Entonces, es obvio que 2 ^ n = 1 (mod p), entonces ord_p (2) | n. Como ord_p (2) divide (p-1), obviamente ord_p (2) tiene un factor primo menor que p (excepción para p = 2). Pero, dado que n divisible por ord_p (2), entonces n tiene un factor primo menor que p, esta afirmación contradice la afirmación de que p es el factor primo más pequeño de n. Entonces, no hay n para que n divida 2 ^ n-1.

Editar: hay un caso que olvidé: si ord_p (2) no tiene un factor primo menor que p. Lo que significa ord_p (2) = 1. entonces 2 ^ 1 = 1 (mod p) que obviamente no tiene solución.

Editar: y = ord_p (x) significa que y es el número mínimo para que x ^ y = 1 (mod p). Tenga en cuenta que x debe ser primo relativo con p. También hay un teorema que establece que x ^ y = 1 (mod p) si y solo si y es divisible por ord_p (x)