La factorización parcial de un cuadrático siempre es posible.
Dado [math] y = ax ^ 2 + bx + c [/ math], queremos encontrar las coordenadas del vértice de la parábola. (Si esto no es lo que quiere decir con factorización parcial, explique en los detalles de la pregunta).
Mover la parábola hacia arriba o hacia abajo no afecta la coordenada [matemática] x [/ matemática] del vértice. Ese movimiento es equivalente a ajustar [matemáticas] c [/ matemáticas] en la ecuación. Por lo tanto, también podríamos ajustarlo para que la ecuación sea más fácil de resolver, lo que significa [matemática] c = 0 [/ matemática].
Entonces, [matemática] y = ax ^ 2 + bx = x (ax + b) [/ matemática] tiene un vértice con la misma coordenada [matemática] x [/ matemática] que la parábola original.
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Una raíz de la ecuación modificada es obviamente [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas]. El otro es [matemáticas] x = -b / a [/ matemáticas]. El vértice se encuentra entre las dos raíces, en [matemáticas] x = – \ frac {b} {2a} [/ matemáticas].
Sustituya este valor nuevamente en la ecuación original para obtener la coordenada [math] y [/ math] del vértice.
Ninguno de estos pasos impone condiciones en [matemáticas] a [/ matemáticas], [matemáticas] b [/ matemáticas] o [matemáticas] c [/ matemáticas]. Hay algunos casos especiales, por ejemplo, si [matemáticas] b = 0 [/ matemáticas], entonces el vértice está en [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas]. Si [math] a = 0 [/ math] entonces no tienes un cuadrático. Y si [matemáticas] c = 0 [/ matemáticas] ya, ¡genial!