Suponga que el número n tiene una factorización prima de la forma que se muestra a continuación:
[matemáticas] n = p_1 ^ {e_1} * p_2 ^ {e_2} * p_3 ^ {e_3} * \ cdots \ cdots * p_k ^ {e_k} [/ math]
El número total de factores de n excluyendo 1 yn es, [matemática] F = (1 + e_1) (1 + e_2) (1 + e_3) \ cdots \ cdots (1 + e_k) – 2 [/ matemática]
Dado que se da que el número total de factores propios F es impar.
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[math] \ Rightarrow \ (1 + e_1) (1 + e_2) (1 + e_3) \ cdots \ cdots (1 + e_k) – 2 [/ math] es impar
[math] \ Rightarrow \ (1 + e_1) (1 + e_2) (1 + e_3) \ cdots \ cdots (1 + e_k) [/ math] es impar
Si el producto de todos los números es impar, entonces cada término en el producto es impar.
[math] \ Rightarrow \ e_1 \ = e_2 \ = e_3 \ = \ \ cdots \ cdots \ = \ e_k = [/ math] una cantidad par
Por simplicidad, si suponemos [matemáticas] \ e_1 \ = e_2 \ = e_3 \ = \ \ cdots \ cdots \ = \ e_k = \ 2r \ | r \ en N [/ matemáticas]
Entonces el número, n, puede escribirse como [matemáticas] n \ = \ left (p_1 * p_2 * \ cdots \ cdots * p_k \ right) ^ {2r} [/ math]
[matemática] \ Rightarrow \ sqrt {n} \ = \ left (p_1 * p_2 * \ cdots \ cdots * p_k \ right) ^ {r} [/ math]
[math] \ Rightarrow [/ math] n es un cuadrado perfecto.
¡Espero que eso ayude!