Supongamos que los enteros consecutivos [math] N [/ math] sean [math] a, a + 1, \ cdots, a + N-1 [/ math]. Voy a suponer que [matemáticas] a [/ matemáticas] es un número entero positivo. Entonces, considera
[matemática] S = \ frac {1} {a} + \ frac {1} {a + 1} + \ cdots + \ frac {1} {a + N-1} [/ math].
Si tomo el LCM, entonces el numerador de esto es la suma de los productos de todos los conjuntos [matemáticos] N-1 [/ matemáticos] (llame a esto [matemáticos] A [/ matemáticos]) y el denominador es el producto de todos [ matemática] N [/ matemática] (llame a esto [matemática] B [/ matemática]). Luego, encontramos que [matemáticas] S = \ frac {A} {B} [/ matemáticas]. Entonces, la pregunta es, ¿en qué casos [matemáticas] S <1 [/ matemáticas]? Llamamos a la declaración [matemáticas] S <1 [/ matemáticas] como [matemáticas] P [/ matemáticas].
Primero, notamos inmediatamente que [math] \ frac {1} {a + i} \ geq \ frac {1} {a} [/ math] para todos [math] i \ geq 0 [/ math]. Por lo tanto, [matemáticas] S <\ frac {N} {a} [/ matemáticas]. Ahora, si [math] N \ leq a [/ math], entonces [math] S <\ frac {N} {a} \ leq 1 [/ math]. Por lo tanto, siempre que el número de enteros sea menor que el número entero más pequeño, [math] P [/ math] es verdadero.
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También tenga en cuenta que [math] \ frac {N} {S} [/ math] es la media armónica de los números [math] (a, a + 1, \ cdots, a + N-1) [/ math]. Por la desigualdad HM-GM-AM, debemos tener
[matemática] \ frac {N} {S} \ frac {2N} {N + 2a-1} [/ matemática].
Esto implica que si [math] N \ geq 2a-1 [/ math], entonces [math] S> 1 [/ math] y [math] P [/ math] no es cierto.
Ahora nos queda el caso [math] a <N <2a-1 [/ math]. Supongo que este es el caso más interesante y no trivial. Sin embargo, tendré que volver a esto algún tiempo más tarde cuando tenga más tiempo para desarrollar esta respuesta.
En resumen, hasta ahora hemos demostrado que [matemática] P [/ matemática] es verdadera siempre que [matemática] N \ leq a [/ matemática] y [matemática] P [/ matemática] no es cierta siempre que [matemática] N \ geq 2a-1 [/ matemáticas].