Algoritmos: ¿Cuál es el área más grande para que varios rectángulos inscritos en un círculo puedan cubrir este círculo?

Answer 1

Esta es una pregunta fascinante.

Primero miraré el caso [matemáticas] n = 2 [/ matemáticas]. Creo que podemos suponer que cualquiera de estos dos rectángulos estarán uno al lado del otro. Esto evita cualquier espacio en el medio.

Por lo tanto, supongamos que tenemos los dos rectángulos, uno encima del otro. Si uno de ellos es más ancho que el otro, podemos aumentar la altura de ese (disminuyendo la altura del otro), para aumentar el área. El momento en que no podemos aumentar más la altura es cuando este rectángulo toca el círculo en 4 puntos.

Entonces obtenemos un rectángulo que toca el círculo en 4 puntos para nuestro rectángulo más grande. Esto incluye el cuadrado que obtenemos para [matemáticas] n = 1 [/ matemáticas]. Sin embargo, en el pequeño espacio que dejamos, podemos caber en un rectángulo extra. Los tamaños óptimos deberán determinarse con cálculo.

Para [matemáticas] n = 3 [/ matemáticas], podemos poner otro rectángulo en el lado opuesto (en la parte inferior). Para [matemáticas] n = 4 [/ matemáticas], podemos poner uno en el lado izquierdo. Para [matemáticas] n = 5 [/ matemáticas], el primer rectángulo será el cuadrado más grande nuevamente, con 4 rectángulos iguales en la parte superior, inferior, izquierda y derecha del mismo. Para [matemáticas] n> 5 [/ matemáticas], las cosas comenzarán a complicarse mucho.

Answer 2

No está claro qué se entiende por “rectángulos de insectos en un círculo”. ¿Se pretende que “insecto” se “cruce”?

¿Estamos tratando de encontrar el área de su intersección? En ese caso, es mejor hacer que todos los rectángulos sean el mismo cuadrado para que su intersección sea el cuadrado óptimo.

¿Estamos tratando de encontrar el área de su unión? Si es así, esperaría que obtengamos un diseño diferente para diferentes n. Por ejemplo, para n = 2, podemos poner dos cuadrados en ángulos de 45 grados y obtener un área 1.25 veces mayor que la de un solo cuadrado, o podemos hacer que uno de los rectángulos sea más largo y alineado con el mismo eje y obtener un área 1.168375 veces el cuadrado original (para que el otro sea mejor).

Para n = 3, casi con toda seguridad maximizamos el área al juntar tres rectángulos idénticos para formar un hexágono regular inscrito con un área 1.299 veces el cuadrado original.

Para n = 4, ¿quién sabe cuál sería el diseño óptimo? Hasta ahora, hemos estado colocando rectángulos idénticos en ángulos de pi / n entre sí. ¿Esto sigue teniendo más sentido? Debo pensar que el área más grande tenderá a tener algo de simetría para cada n, pero ¿tiene que ser simetría n-fold? No creo que nadie haya estudiado completamente este problema en su totalidad.